комплексных чисел
и E комплексных чисел Изобразим множества на комплексных плоскостях:
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
1 Лекция 9. § 9.1. Функции комплексного переменного. Пусть есть 2 множества: D
Содержание
- 1. 1 Лекция 9. § 9.1. Функции комплексного переменного. Пусть есть 2 множества: D
- 2. Если каждому комплексному числу множества z по
- 3. Так как W = u + iv,
- 4. Определение. (однозначной функции).Если каждому числу
- 5. полуплоскости.
- 6. § 9.2. Предел функций комплексного переменного.Пусть задана
- 7. (действительного, сколь угодно малого)
- 8. чисел, удовлетворяющих неравенству есть круг, радиуса
- 9. Слайд 9
- 10. Чтобы показать, что предел функции не существует,
- 11. Теорема. (необходимое и достаточное условие существования предела
- 12. Для функций комплексного переменного выполняются все теоремы о пределах, доказанные для функций действительной переменной.
- 13. 4. Теорема. (об асимптотическом разложении функции ,
- 14. Для ФКП вводится понятие бесконечно малой (б.м.)
- 15. Определение. (Непрерывности ФКП в точке)Функция f (
- 16. непрерывности ФКП в точке соответствует непрерывности двух
- 17. Для ФКП выполняются все теоремы, доказанные ранее
- 18. 9.2 Дифференцируемость ФКП в точкеПусть ФКП f
- 19. Определение. (Производной ФКП в точке)Если существует конечный
- 20. ЗамечаниеПроизводная в точке не зависит
- 21. Рассмотрим функцию:z = x + iy
- 22. Слайд 22
- 23. Предел зависит от способа стремления, это значит
- 24. С точностью до бесконечно малой второго порядка
- 25. Производная показывает во сколько раз надо увеличить
- 26. Таким образом геометрический смысл ФКП состоит в
- 27. соответствующего приращению функции .Теорема.
- 28. 2. В точке выполнялись
- 29. ОбозначимИспользуя теорему об асимптотическом разложенииили с учетом принятых выше обозначений:Перемножая выражения, стоящие в скобках, имеем:
- 30. Комплексные выражения равны тогда, когда равны действительные и мнимые части.(I)
- 31. Эти записи означают, что функции u,v дифференцируемы
- 32. Достаточность:Пусть функции
- 33. с (I) получаем:
- 34. Скачать презентанцию
Если каждому комплексному числу множества z по некоторому закону поставлено в соответствии хотя бы одно комплексное число, то говорят, что на множестве D задана комплексная функция
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Лекция 9.
§ 9.1. Функции комплексного переменного.
Пусть есть 2 множества: D
комплексных чисел
и E комплексных чиселИзобразим множества на комплексных плоскостях:
Слайд 2Если каждому комплексному числу множества z по некоторому закону
поставлено в соответствии хотя бы одно комплексное число,
то
говорят, что на множестве D задана комплексная функция .D – область определения. E – область изменения.
Слайд 3Так как W = u + iv, то задание комплексной
функции W = f(z) равносильно заданию
комплексной функции W =
u(x,y) + iv(x,y) то есть задание комплексной функции равносильно заданию функции комплексного
переменного. Рассмотрим функцию ,
где z = x + iy
u v
Слайд 4Определение. (однозначной функции).
Если каждому числу
по некоторому закону
f поставлено в соответствие одно и только одно
число , то говорят что задана однозначная
функция комплексного переменного W = f ( z )
Пример.
однозначная функция для области
определения, представляющей верхнюю половину
Слайд 6§ 9.2. Предел функций
комплексного переменного.
Пусть задана функция комплексного переменного
f ( z ) определенная в окрестности точки
, кроме может быть самой точки.
Определение ( предела функции комплексного
переменного)
Число A ( комплексное) называется пределом функции f ( z ) в точке , если
Слайд 7(действительного, сколь угодно малого)
(действительное), такое, что: для любого z удовлетворяющего
неравенствувыполняется неравенство
При этом пишут
Разберем, что в определении означает запись:
z , удовлетворяющих
Исходя из геометрического смысла, множество
Слайд 8чисел, удовлетворяющих неравенству есть круг, радиуса с выколотой
точкой . Когда
это означает, что круг стягивается
в точку, при этом не важно, каким образом . Исходя из этого предел функции комплексного переменного не зависит от способа стремления .
Слайд 10Чтобы показать, что предел функции не существует, пытаются найти предел
при различных способах стремления
. Если получившиеся числа различны, то говорят, что предел в данном случае не существует.Так как задание функции f ( z ) <=> заданию выражения u ( x,y ) + iv( x,y ) то есть заданию двух функций действительного переменного, тогда:
Слайд 11Теорема. (необходимое и достаточное условие существования предела функции комплексного переменного).
Для
того, чтобы существовал предел ФКП
f( z ), при
необходимо и достаточно, чтобы одновременно существовали пределы функций , при парахгде u,v – функции действительного переменного:
Слайд 12Для функций комплексного переменного выполняются все теоремы о пределах, доказанные
для функций действительной переменной.
Слайд 134. Теорема. (об асимптотическом разложении функции , имеющей предел )
Для того, чтобы существовал предел
необходимо и достаточно, чтобы в
окрестности точки функция f ( z ) была представлена в виде:Замечание.
– бесконечно малая функция ФКП, то есть
расстояние между двумя точками комплексной плоскости.
Слайд 14Для ФКП вводится понятие бесконечно малой (б.м.) и бесконечно большой
(б.б.) ФКП. При нахождении пределов ФКП можно пользоваться понятием эквивалентных
бесконечно малых.Понятие непрерывности ФКП
Пусть функция f ( z ) определена в окрестности точки , и в самой точке.
Слайд 15Определение. (Непрерывности ФКП в точке)
Функция f ( z ) называется
непрерывной в точке ,
если
такое, что для любых Z
удовлетворяет неравенствувыполняется неравенство при этом пишут:
Так как задались ФКП соответствует заданию двух функций действительного переменного, то понятие
Слайд 16непрерывности ФКП в точке соответствует непрерывности двух функций действительного переменного
в этой точке.
Теорема. (Необходимое и достаточное условие непрерывности ФКП в
точке).Для того, чтобы ФКП была непрерывна в точке необходимо и достаточно, чтобы функции были непрерывны в точке .
Слайд 17Для ФКП выполняются все теоремы, доказанные ранее для функций действительного
переменного.
Если непрерывны
в точке , то:Сложная функция непрерывна в точке .
Слайд 189.2 Дифференцируемость ФКП в точке
Пусть ФКП f ( z )
определена в окрестности точки
и самой точке. Рассмотрим
значение ФКП в точке и точке - произвольное комплексное число.Предполагается, что все значения существуют.
Рассмотрим
Это отношение представляет собой некоторое комплексное число.
Слайд 19Определение. (Производной ФКП в точке)
Если существует конечный предел
то он
называется производной функции в точке и обозначается
Функция f ( z
) называется дифференцируемой в точке .
Слайд 20Замечание
Производная в точке не зависит от способа стремления
. Это следует
из того, что производная есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента.Пример:
Слайд 23Предел зависит от способа стремления, это значит не существует
Геометрический смысл
ФКП
Пусть дана функция
По теореме об асимптотическом разложении функции, имеющей предел:
Слайд 24
С точностью до бесконечно малой второго порядка относительно
можем записать
Каждое из комплексных чисел входящих в формулу запишем
в показательной форме записи.
Слайд 25
Производная показывает во сколько раз надо увеличить ,
чтобы получить .
Аргумент производной показывает насколько
надо увеличить угол , чтобы получить .
Слайд 26Таким образом геометрический смысл ФКП состоит в следующем:
1. Модуль производной
ФКП показывает, во сколько раз нужно уменьшить или увеличить модуль
приращения аргумента, чтобы получить модуль приращения функции.2. Аргумент производной показывает, на какой угол относительно аргумента нужно повернуть луч , дающий направление комплексного числа,
Слайд 27соответствующего приращению функции .
Теорема. (необходимое и достаточное
условие дифференцируемости ФКП в точке )
Для того, чтобы ФКП
была дифференцируемой в точкенеобходимо и достаточно, чтобы:
1.Функции были дифференцируемы в точках
Слайд 282. В точке выполнялись условия Коши-Римана:
При этом
Доказательство
Необходимость:
Пусть f ( z ) - дифференцируема в точке
,
Слайд 29Обозначим
Используя теорему об асимптотическом разложении
или с учетом принятых выше обозначений:
Перемножая
выражения, стоящие в скобках, имеем:
Слайд 31Эти записи означают, что функции u,v дифференцируемы в точке
по определению
Сравнивая выражения, получаем условие
Коши-Римана.
Слайд 32
Достаточность:
Пусть функции
дифференцируемы в точке (x, y)
и пусть выполняются условия:Тогда справедливы равенства (I), и, умножая второе уравнения равенства (I) на i, и складывая
