20 1 1 г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения в полных

если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x , y) ,

т.е. если
M(x , y)dx + N(x , y)dy = du(x , y) .
Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет вид u(x , y) = C .
 Задачи:
1) научиться определять, когда выражение
M(x , y)dx + N(x , y)dy 
является полным дифференциалом;
2) научиться находить функцию u(x , y), зная ее полный диф- ференциал.

области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные частные

производные
Для того чтобы выражение
M(x , y)dx + N(x , y)dy 
представляло собой полный дифференциал некоторой функции u(x , y) , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1;
2) используя одну из следующих формул:
где (x0 ,y0) – любая точка

области D непрерывности функций M(x , y), N(x , y).

выражения, являющиеся дифференциалами известных функ- ций («интегрируемые комбинации») и привести его

таким образом к виду du(x , y) .
ПРИМЕРЫ интегрируемых комбинаций:

если после его умножения на m(x,y) левая часть уравнения становится

полным дифференциалом некоторой функции.
Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные частные производные

1) Если  = (x), то уравнение (14) имеет интегрирующий множитель m(x), который

является решением уравнения
2) Если  = (y), то уравнение (14) имеет интегрирующий множитель m(y), который является решением уравнения

Найти интегрирующий множитель для уравнения Бернулли.
3) Получить формулу (уравнение)

для нахождения интегри- рующего множителя вида m = m(x 2 + y 2) .
Найти общий интеграл уравнения
4) Получить формулу (уравнение) для нахождения интегри- рующего множителя вида m = m(xy) .
Найти общий интеграл уравнения