a с Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.  b К О: Прямая и

параллельны, если они не пересекаются

плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости , то
она

параллельна и самой плоскости.

Дано:

Доказать:

другой плоскости, и пересекается с
этой плоскостью, то прямая пересечения

этих
плоскостей параллельна данной прямой

α

β

Если

доказательство

,

,

α

2. α  β = b

Если a  β = Х, то Х  b, это невозможно, т.к. α  b

 a  β

 a  β

Теорема доказана.

в
Доказать: а  в

Доказательство:
а, в  β
Пусть в ∩

а, тогда а ∩ α,
что противоречит условию.
Значит в  а

Задача: прямая а лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей и параллельна другой. Доказать, что прямая а параллельна прямой пересечения данных плоскостей

и E - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите,

что DE  α

Доказательство:

1. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно 

2. DE – средняя линия (по определению) 
DE АС (по свойству)

 DE  α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)

 β
О: плоскости параллельны, если они не пересекаются

параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

a1 , b1 . a  a1, b  b1.
Доказать:

 

Доказательство:

Тогда а   (по признаку парал-ти прямой и плоскости), а  ,    = с, значит а  с.
2. b  , b  ,    = с, значит b  с.
3. Имеем, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, чего быть на может.
Значит    .

1. Пусть    = с. Методом от противного

данной, причём единственную.
β
а1
•
А
α
плоскость α,
в1
в
а
Доказать:
Доказательство.
Дано:
точка А вне плоскости α.
существует плоскость

β║α, проходящая через точку А

1. В плоскости α проведём прямые а∩в.

Через точку А проведём

а1║а

и в1║в.

По признаку параллельности плоскостей прямые а1 и в1 задают плоскость β║α.

Существование плоскости β доказано.

плоскость β1, которая проходит через т. А и β1 

α.

Отметим в плоскости β1 т. С β.

Отметим произвольную т. В  α.

Через точки А, В и С проведем γ.

γ ∩ α = в,

γ ∩ β1 = с.

γ ∩ β = а,

а

а и с не пересекают плоскость α,

значит они не пересекают прямую в,

 а  в и с  в

Получили, что через т. А проходят две прямые, параллельные прямой в, чего быть не может.

 наше предположение ложное.

Единственность β доказана.

параллельны.
Свойство параллельных плоскостей.
Дано:
α  β, α  

= a
β   = b

Доказать: a  b

Доказательство:

1. a  , b  

2. Пусть a и b не параллельны -методом от противного,

тогда a  b = М

3. M  α, M  β

 α  β = с (А2)

Получили противоречие с условием.

Значит a  b ч. т.д.

плоскостями, равны.
Свойство параллельных плоскостей.
Доказать: АВ

= СD

Дано:
α  β, АВ СD
АВ  α = А, АВ  β = В,
СD  α = С, СD  β = D

Доказательство:

1. Через АВ СD проведем 

2. α β, α   = a, β   = b

3.  АС В D,

4. АВ СD (как отрезки парал. прямых)

5.  АВСД – параллелограмм (по опр.)

 АВ = СD ( по свойству параллелограмма)

данной плоскости α, не проходящей через точку.
α
β
А
Решение.
1. В

плоскости α возьмем т. В.

2. Проведем прямые ВС и ВD.

В

•

С1

D1

D

С

3. Через точку А проведем прямую АD1 ВD.

4. Аналогично через точку А проведем прямую АС1 ВС.

•

5. Через прямые АD1 и АС1 проведем плоскость βα , по
признаку параллельности
плоскостей

можно провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.
а
в
Пусть а

скрещивается с в.

Доказательство:

На прямой в возьмем т. А,

А

через прямую а и т. А проведем плоскость,

в этой плоскости через т. А проведем прямую в1 , в1 a.

Через в1  в проведем плоскость α.

.

в1

Аналогично строим плоскость β.

По признаку параллельности плоскостей α  β.

.

параллельными.
Две плоскости, не имеющие ни одной общей точки,

называются параллельными.
Признаком параллельности плоскостей является соответственная параллельность двух пар пересекающихся прямых, находящихся в данных плоскостях.
Через точку вне данной плоскости можно провести единственную плоскость, параллельную данной.
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую.