Действия над числами в произвольной системе счисления 1

ai + bi + pi-1

Результат:

в q-ой СС смешанное число А, заданное в p-ой СС:
Ap

= an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0+a-1*p-1+a-2*p-2+…+a-m*p-m
Bq = br*qr+br-1*qr-1+…+b1*q1+b0*q0+b-1*q-1+b-2*q-2+…+b-s*q-s

Для смешанного числа отдельно проводится перевод целой и дробной частей.

СС в q-ичную необходимо исходное p‑ичное число и получаемые частные

последовательно делить на основание q новой СС. Получаемые в результате остатки представляют собой p-ичные записи q-ичных цифр числа, начиная с младшей. Операция деления проводится в p-ичной СС.

{А1,S1}, где А1- целая часть результата, S1-остаток.
Bq /q = {В1,R1},

где B1- целая часть результата, R1-остаток.
B1= br*qr-1+br-1*qr-2+…+b1*q0
R1 = b0
Т.к. Ap ≡ Bq, то b0 = S1.

СС выражаются q‑ичными числами и производится вычисление полученного выражения в

q-ичной СС.
Ap = an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0 = = aqn*pqn+aqn-1*pqn-1+…+aq1*pq1+aq0*pq0
Пример. Перевести в 3-ю СС число 524, представленное в 7-й СС.
5247 = 5•72+2 •71+4 •70 =(12 •21 • 21+2 •21 +11)3 = 1002023
При вычислениях учитываем, что 57 = 123 ; 27 =23 ; 47 = 113

Горнера). Цифры и основание исходного представления числа в p-ой СС

выражаются q‑ичными числами. В q‑ичной СС выполняются следующие операции:
умножить старшую цифру на p;
добавить к результату следующую по порядку цифру;
умножить результат на p;
повторить операции 2 и 3 до тех пор, пока не будет добавлена младшая цифра; на последнем шаге операция умножения результата на p не проводится.
Такой подход позволяет, в общем случае, сократить при переводе количество операций умножения, которые выполняются гораздо дольше операций сложения.
5247 = 5•72+2 •71+4 •70 =(12 •21 • 21+2 •21+11)3 =
= ((12 •21 +2) •21+11)3 = 1002023

q-ичную необходимо в p‑ичной СС выполнить следующие операции:
умножить исходное число

на q. Целая часть полученного результата является старшей цифрой числа в q-ичной СС;
умножить дробную часть полученного результата на q. Целая часть полученного результата является очередной цифрой числа в q-ичной СС;
повторить операцию 2, пока не будет достигнута необходимая точность.

и нового представления числа:
0,5•q-s ≤ 0,5•p-m

счисления.
Количество разрядов в новом представлении дроби:
n7 ≥ (n4 * ln

4) / ln 7 =2,137...
n7 = 2
Для получения 2-х цифр в окончательном результате необходимо выполнять процесс умножения до получения 3-х цифр нового представления дроби и провести округление:
x0,3024
134 ; =7
+2112
3020
11.132
x 0,132
13
+1122
1320
3.102
x0.102
13
+312
1020
0,1332
Таким образом, 0,3024 = 0,530…7 ≈ 0,537,

= qk
Перевод целых чисел.
При переводе целых чисел из p-ичной

СС в q-ичную необходимо каждую цифру исходного p-ичного числа заменить ее k-разрядным q-ичным эквивалентом.
Перевод правильных дробей.
При переводе правильных дробей из p-ичной СС в q-ичную необходимо каждую цифру исходного p-ичного числа заменить ее k-разрядным q-ичным эквивалентом.
Перевод чисел из p-ичной системы счисления в q-ичную при q = p k
Перевод целых чисел.
При переводе целых чисел из p-ичной СС в q-ичную необходимо исходное p‑ичное число разбить на группы по k разрядов, начиная справа, и каждую группу заменить одной q-ичной цифрой. При необходимости старшая группа дополняется слева нулями до k разрядов.
Перевод правильных дробей.
При переводе правильных дробей из p-ичной СС в q-ичную необходимо исходное p‑ичное число разбить на группы по k разрядов, начиная слева, и каждую группу заменить одной q-ичной цифрой. При необходимости младшая группа дополняется справа нулями до k разрядов.

571,45 из 8-й в 2-ю систему счисления.
Так как 8 =

23, то каждую 8-ричную цифру необходимо заменить ее 3-х разрядным двоичным эквивалентом:
571,458 = 101 111 001, 100 1012.
Пример 2. Перевести число 10111011001,1011012 из 2-й в 16-ю CC.
Так как 16 = 24, то исходное число необходимо разбить на группы по 4 разряда, при этом придется дополнить старшую группу целой части числа двумя нулями слева, а младшую группу дробной части нулем справа:
0010 1101 1001,1011 00102 = 2D9,B216
Пример 3. Перевести число E4,57 из 16-й в 8-ю систему счисления.
Так как 16 ≠ 8k, то прямой перевод по упрощенным правилам невозможен. В этом случае необходимо либо воспользоваться пра­ви­ла­ми переводав произвольных СС, либо выпол­нить промежуточныый перевод в 2-ю СС, так как 8=23 и 16=24: Воспользуемся вторым подходом.
E4,5716 = 1110 0100,0101 01112 = 011 100 100,010 101 1102 = 344,2568