Динамические системы

Это системы, описывающие поведение множества материальных точек в зависимости от

времени с помощью конечного набора числовых параметров, которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений первого порядка. Для целей данного курса достаточно считать, что динамическая система – это система, описываемая конечным набором входных и выходных параметров, которые определены на некотором интервале времени.
Простейшая динамическая система имеет один входным и один выходным параметр и состоит из одного элемента, будем называть такую упрощенную систему объектом.

параметр как функцию x(t) , а выходной как y(t). Мы

рассматриваем поведение объекта на некотором интервале времени, то есть параметры представляют собой функции от времени на этом интервале. В первой части нашего курса параметры объекта будем считать детерминированными функциями. Выходной параметр y(t) некоторым образом зависит от входного параметра, то есть от функции x(t). Мы рассматриваем поведение объекта на некотором интервале времени, то есть параметры представляют собой функции от времени на этом интервале. Зависимость выходного параметра от входного будем записывать в виде соотношения

x(t) в функцию y(t).
Преобразование F называется оператором. Например, F

может выражать зависимость в виде решения дифференциального уравнения. Одним из видов зависимости функций является уравнение свертки

Функция h(t) называется ядром свертки. Свертка широко применяется в теории сигналов, в частности, для моделирования фильтров.

не равно нулю только на некотором отрезке [0, M], поэтому

свертка принимает вид

Если бы нижняя граница интервала интегрирования была бы меньше 0, например, -1, то получалось бы, что функция y(t) зависит от значения функции x(t) в момент времени от t + 1, то есть в будущем, что считаем невозможным.

0.


Для каждого момента времени t0 функция y(t0) зависит от функции

x(t) во все моменты времени от t0 – M до t0, то есть, от «недалекого прошлого».
M называется интервалом памяти объекта.
Сокращенно уравнение (1) записывается в виде
y(t) = h(t)*x(t).

(1)

динамических системах является задача идентификации системы.
Предполагается, что исследователь может подать

на вход объекта любой сигнал x(t) и наблюдать на выходе получающийся сигнал y(t).
Идентификацией системы с параметрами x(t) и y(t) называется построение оператора F, такого, что
y(t) = F[x(t)].

математической модели системы;
2) оценивание параметров выбранной модели.

В простейшем случае выбирается

модель в виде уравнения свертки.


В этой модели x(t) выбирает исследователь, наблюдая y(t) на выходе. Таким образом, неизвестный параметр модели - функция h(t).

1 (a>0, ε>0). a=1/ ε
График прямоугольного импульса

-ε/2 0 ε/2

t

для значений аргумента
-ε/2 < τ – t < ε/2 ,

то есть при
t - ε/2 < τ < t + ε/2 .
На этом интервале импульс равен a, интеграл (1) принимает вид:

первообразных от функции h(t):
a(H(t + ε/2) - H(t - ε/2))

= (где a=1/ε) (H(t + ε/2) - H(t - ε/2))/ε .
Последнее отношение – это производная от H(t) в точке t, то есть значение h(t).

любой точки t0 из отрезка [0, M] (вне этого отрезка

h(t)=0 ) выполняется равенство

Приближенное равенство верно для малых ε. Этот метод называется импульсным методом, он дает идентификацию объекта с моделью в виде уравнения свертки.