Элементы функционального анализа

линейным пространством, если в нем определены две операции:
I. Каждым

II. Каждому элементу Е и каждому числу (скаляру) поставлен в соответствие определенный элемент Е - произведение элемента на число

можно определить противоположный элемент (-х). (А значит и операцию вычитания

Нулевой элемент единственен

Если

Если

или прямой)
2. Множество Rm - всевозможных упорядоченных наборов (столбцов) из

Пусть D - некоторое множество, пусть каждому t поставлен в соответствие элемент x(t) линейного прост-ранства Е. Введем операции:

числа
4. Пространство непрерывных функций
5. Пространство k - раз непрерывно дифференцируемых

6. Множество Mmn всех прямоугольных матриц

котором вектора (1,2,3), (1,1,0) и (к,1,1) линейно зависимы.
Задача2: Доказать,

нем существует m линейно независимых векторов, а всякие m+1 векторов

Определение: Набор любых m линейно независимых векторов в m-мерном линейном пространстве Е называ-ется базисом в Е.

Задача: Любой вектор m-мерного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векто-ров – разложение вектора по базису.

Задача: Разложение вектора х по базису - единственно

натурального n в нем существует n линейно независимых элементов.
Задача:

Линейное многообразие

Определение: Множество М в линейном пространстве Е называется линейным многообразием (линейным множеством), если

Примеры:

х2 линейного пространства Е, называется совокупность всех точек вида
Определение1: Множество

Замечание: Всякое линейное многообразие является выпуклым множеством

линейном пространстве Е задана функция, ставя-щая в соответствие каждому элементу

Теорема: Если p(x) – выпуклый функционал, то множество

- выпукло

его элементу поставлено в соответствие неотрицательное число ||x|| (норма х)

- невырожденность

- однородность

- неравенство треугольника

Следствие:

в нормированном пространстве:

называют евклидовым Еm
Как выглядят окрестности при m = 1, 2,

2. В пространстве Rm введем норму:

Как выглядят окрестности при m = 1, 2, 3?

Полученное нормированное пространство называют cm

называют
4. Иногда используют норму
Замечание: Норма 3 является самой общей

в нормированном пространстве Е.
Определение: Элемент х0 называется пределом последо-вательности

последовательности {xn} за исключением, может быть их конечного числа;
Предел х0

Пример1: сm

Сходимость покоординатная!

его элементов х и у поставлено в соответствие вещественное число,

и 2) выполняются очевидно. Докажем аксиому треугольника.

называется ортогональ-ной системой.
Теорема: Любая ортогональная система линейно независима

С[a,b]
Будем рассматривать системы, состоящие из бесконечного числа элементов пространства Е

ортогональную (ортонормированную) систему.
Пусть e1 = x1. Ищем e2 в виде:

ортогональных многочленов Лежандра

векторов полностью определяется матрицей
Собственные числа и собственные вектора оператора:
-

- спектральный радиус

получить соответствующую матричную норму:
Для симметричных матриц