Функция распределения вероятностей случайной величины

Содержание

1. Функция распределения вероятностей случайной величины
2. Способы задания дискретной случайной величины не являются
3. Функцией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность
4. Свойства функции распределения1. Значения функции распределения принадлежат
5. Пример №1. Случайная величина Х задана функцией
6. Решение. Т.к. на интервале (0;2), по условию,F(x)
7. Пример №2. Случайная величина Х задана функцией
8. а) P(X
9. Пример №3. Случайная величина Х задана функцией
10. Вероятность того, что Х примет значение xЄ(0,25; 0,75) в одном испытании, равнаP(0,25
11. 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина
12. Но неправильно думать, что равенство 0 вероятности
13. 5. Если возможные значения случайной величины принадлежат
14. График функции распределения] График расположен в полосе,
15. ] При х ≤ а ординаты графика
16. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величиныСпособ задания
17. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х
18. Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины
19. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина
20. Геометрический смысл: вероятность того, что непрерывная случайная
21. Свойства плотности распределения1. Плотность распределения – неотрицательная
22. Геометрический смысл: вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной
23. Вероятностный смысл плотности распределенияФункция f(x) определяет плотность
24. Конец
25. Скачать презентанцию

Способы задания дискретной случайной величины не являются общими – они неприменимы, например, для непрерывных случайных величин.Действительно, пусть возможные значения случайной величины X полностью заполняют интервал (a;b). Можно ли составить перечень всех

Главная
Разное
Функция распределения вероятностей случайной величины

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Функция распределения вероятностей случайной величины

Слайд 2Способы задания дискретной случайной величины не являются общими – они

неприменимы, например, для непрерывных случайных величин.
Действительно, пусть возможные значения случайной

величины X полностью заполняют интервал (a;b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Нет.
Необходим общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Способы задания дискретной случайной величины не являются общими – они неприменимы, например, для непрерывных случайных величин.Действительно, пусть

Слайд 3Функцией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная

величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, т.е.
F(x)

= P(X < x).
Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».
Отсюда определение: случайную величину называют непрерывной, если ее ф-ция распределения есть непрерывная кусочно-дифференцируемая ф-ция с непрерывной производной.

Функцией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение,

Слайд 4Свойства функции распределения
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:
0 ≤

F(x) ≤ 1.
2. F(x) – неубывающая ф-ция, т. е.
F(x2) ≥

F(x1), если х2 > х1.
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a;b), равна приращению ф-ции распределения на этом интервале:
P (a

Свойства функции распределения1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:0 ≤ F(x) ≤ 1.2. F(x) – неубывающая ф-ция,

Слайд 5Пример №1. Случайная величина Х задана функцией распределения

0 при х ≤ -1
F(x) = х/4+1/4 при -1<х≤3
1 при х > 3.
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2):
P(0

Слайд 6Решение. Т.к. на интервале (0;2), по условию,
F(x) = x/4 +

1/4, то
F(2) - F(0) = (2/4 + 1/4) – (0/4

+ 1/4) = 1/2.
Итак, P(0

Решение. Т.к. на интервале (0;2), по условию,F(x) = x/4 + 1/4, тоF(2) - F(0) = (2/4 +

Слайд 7Пример №2. Случайная величина Х задана функцией распределения

0 при х ≤ 2
F(x) = 0,5х -1 при 2<х≤4
1 при х > 4.
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение: а) меньше 0,2; б) меньше 3; в) не меньше 3; г) не меньше 5.

Слайд 8а) P(X

0,5 ∙ 3 – 1 = 0,5.
в) P(X ≥ 3)

= ? Т.к. события Х≥3 и X<3 противоположны, то
P(X ≥ 3) = 1 - P(X<3) = 1 – 0,5 = 0,5.
г) P(X ≥ 5) = 1 - P(X<5) = 1 - F(5) = 1-1 = 0.

Слайд 9Пример №3. Случайная величина Х задана функцией распределения

0 при х ≤ 0
F(x) = х2 при 0<х≤1
1 при х > 1.
Найти вероятность того, что в результате 4-х независимых испытаний величина Х ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

Слайд 10Вероятность того, что Х примет значение xЄ(0,25; 0,75) в одном

испытании, равна
P(0,25

(3/4)2 – (1/4)2 = 9/16 -1/16 = 1/2.
Итак, р = 1/2, q = 1 – 1/2 = 1/2.

Вероятность того, что Х примет значение xЄ(0,25; 0,75) ровно 3 раза в 4-х испытаниях, равна по ф-ле Бернулли:
Р4(3) = С43(1/2)3∙ 1/2 = 4 ∙ 1/16 = 1/4.

0,75

0,25

Вероятность того, что Х примет значение xЄ(0,25; 0,75) в одном испытании, равнаP(0,25

Слайд 114. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно

определенное значение, равна 0.
Таким образом, имеет смысл рассматривать вероятность попадания

случайной величины в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Напр., интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна 0.Таким образом, имеет смысл

Слайд 12Но неправильно думать, что равенство 0 вероятности Р(X=х1) означает, что

событие X=х1 невозможно (если не ограничиваться классическим определением вероятности). В

результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х1.

Но неправильно думать, что равенство 0 вероятности Р(X=х1) означает, что событие X=х1 невозможно (если не ограничиваться классическим

Слайд 135. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то
1)

F(х) = 0 при х ≤ а;
2) F(х) = 1

при х ≥ b.

] Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:
Lim F(х) = 0; Lim F(х) = 1.
х→-∞ х→+∞

5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то1) F(х) = 0 при х ≤ а;2)

Слайд 14График функции распределения
] График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0,

y=1
(1 свойство).
] При возрастании х в интервале (a;

b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх» (2 свойство).

График функции распределения] График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, y=1 (1 свойство).] При возрастании х

Слайд 15] При х ≤ а ординаты графика равны 0; при х

≥ b ординаты графика равны 1.
0

F(x)1
1
b
x
a

Слайд 16Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Способ задания непрерывной случайной величины

с помощью ф-ции распределения не является единственным.
Непрерывную случайную величину можно

также задать, используя другую ф-цию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величиныСпособ задания непрерывной случайной величины с помощью ф-ции распределения не является единственным.Непрерывную

Слайд 17Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют ф-цию f(х)

– первую производную от ф-ции распределения F(х):
f(х) = F'(х).
Отсюда функция

распределения является первообразной для плотности распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют ф-цию f(х) – первую производную от ф-ции распределения F(х):f(х)

Слайд 18Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х

0 при х ≤ 0
F(x) = sinx при 0 < х ≤ π/2
1 при х > π/2.
Найти плотность распределения f(х).
0 при х < 0
f(х) = F'(x) = cosx при 0 < х ≤ π/2
1 при х > π/2.

Слайд 19Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение,

принадлежащее интервалу (а; b), равна определенному интегралу от плотности распределения,

взятому в пределах от а до b:

P(а

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а; b), равна определенному интегралу

Слайд 20Геометрический смысл: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение

xЄ(а; b), численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох,

кривой распределения f(x) и прямыми х = а и х = b.

f(x)

Геометрический смысл: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение xЄ(а; b), численно равна площади криволинейной трапеции,

Слайд 21Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения – неотрицательная функция:
f(x) ≥ 0.

График плотности распределения называют кривой распределения.
2. Несобственный интеграл от

плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен 1.
∫f(x)dx = 1.

-∞

∞

Свойства плотности распределения1. Плотность распределения – неотрицательная функция:f(x) ≥ 0. График плотности распределения называют кривой распределения.2.

Слайд 22Геометрический смысл: вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и

кривой распределения, равна 1.

В частности, если все возможные значения случайной

величины принадлежат (а; b), то

∫f(x)dx = 1.

Геометрический смысл: вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна 1.В частности, если все

Слайд 23Вероятностный смысл плотности распределения
Функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для

каждой точки х.
Для достаточно малых ∆x.
F(x + ∆x) - F(x)

≈ f(x)∆x.
Т.к. разность F(x + ∆x) - F(x) определяет (см. выше) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (х; x + ∆x), то
эта вероятность, след-но, приближенно равна произведению плотности вероятности в т. х на длину интервала ∆х.

Вероятностный смысл плотности распределенияФункция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х.Для достаточно малых ∆x.F(x +

Слайд 24Конец

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Функция распределения вероятностей случайной величины

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Функция распределения вероятностей случайной величины

Слайд 2Способы задания дискретной случайной величины не являются общими – они

неприменимы, например, для непрерывных случайных величин.Действительно, пусть возможные значения случайной

Слайд 3Функцией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная

величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, т.е.F(x)

Слайд 4Свойства функции распределения1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:0 ≤

F(x) ≤ 1.2. F(x) – неубывающая ф-ция, т. е.F(x2) ≥

Слайд 5Пример №1. Случайная величина Х задана функцией распределения

Слайд 6Решение. Т.к. на интервале (0;2), по условию,F(x) = x/4 +

1/4, тоF(2) - F(0) = (2/4 + 1/4) – (0/4

Слайд 7Пример №2. Случайная величина Х задана функцией распределения

Слайд 8а) P(X

0,5 ∙ 3 – 1 = 0,5.в) P(X ≥ 3)

Слайд 9Пример №3. Случайная величина Х задана функцией распределения

Слайд 10Вероятность того, что Х примет значение xЄ(0,25; 0,75) в одном

испытании, равнаP(0,25

Слайд 114. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно

определенное значение, равна 0.Таким образом, имеет смысл рассматривать вероятность попадания

Слайд 12Но неправильно думать, что равенство 0 вероятности Р(X=х1) означает, что

событие X=х1 невозможно (если не ограничиваться классическим определением вероятности). В

Слайд 135. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то1)

F(х) = 0 при х ≤ а;2) F(х) = 1

Слайд 14График функции распределения] График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0,

y=1 (1 свойство).] При возрастании х в интервале (a;