Функция. Свойства функции

функции.
Свойства функции.
3
3

переменной сопоставляется по некоторому правилу единственное значение другой переменной.

Обозначают латинскими (иногда греческими) буквами : f, q, h, y, p и т.д.
Задание 1.
Определите, какая из данных зависимостей является функциональной

1) x y 2) a q 3) x d 4) n f

соответствие единственное значение переменной у
2. Не функция, т.к. не каждому

значению переменной а ставится в соответствие единственное значение переменной q
3. Не функция, т.к. одному из значений переменной х ставится в соответствие не единственное значение переменной d
4. Функция , т.к. каждому значению переменной n ставится в соответствие единственное значение переменной f
1) x y 2) a q 3) x d 4) n f

(словесное описание)
Сила равна скорости изменения импульса

(х; у) координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента,

а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Задание 2.
Определите, какой из данных графиков является графиком функции
Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис.4

у

у

у

у

х

х

х

х

НЕ ЯВЛЯЮТСЯ графиками функций рис.1, рис. 3,рис. 4

Непрерывность
7. Монотонность
8. Наибольшее и наименьшее значения
9. Ограниченность
10. Выпуклость

Свойства функции
Алгоритм описания

свойств функции

независимая переменная.
Обозначается : D (f).

Пример. Функция задана формулой у =

Данная формула имеет смысл при всех значениях
х ≠ -3, х ≠ 3,
поэтому D( y )=(- ∞;-3) U (-3;3) U (3; +∞)

которые принимает зависимая переменная.
Обозначается : E (f)

Пример. Функция задана

формулой у =


Данная функция является квадратичной , график – парабола, вершина (0; 9)
поэтому E( y )= [ 9 ; +∞)

x0, при котором функция обращается в нуль: f (x0)

= 0.
Нули функции - абсциссы точек пересечения с Ох

3. Нули функции

x1,x2 - нули функции

для любого х из области определения выполняется равенство

f (-x) = f (x).График четной функция симметричен относительно оси ординат.

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения выполняется равенство
f (-x) = - f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства.
y > 0

(график расположен выше оси ОХ) при х (- ∞; 1) U
(3; +∞),
y<0 (график расположен ниже OX) при х  (1;3)

на этом промежутке и непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на всей области определения сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

Задание . Определите, на каком из рисунков изображен график непрерывной функции .

1

2

подумай

правильно

ординаты точек графика всё время увеличиваются («поднимаемся в горку»);
говорят,

что функция возрастает;
если двигаться по графику слева направо, то ординаты точек графика всё время уменьшаются («спускаемся с горки»);
говорят, что функция убывает.

у

х

о

y=f(x)

y

x

o

y=f(x)

Функция возрастает, если большему (меньшему) значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функция убывает, если большему (меньшему) значению аргумента соответствует меньшее (большее) значение функции.

если из неравенства х1 < х2, где х1 и х2

– любые две точки промежутка Х, следует неравенство f (х1) < f (х2).

Определение 2.

Функция у = f (х) называют убывающей на промежутке Х, если из неравенства х1 < х2, где х1 и х2 – любые две точки промежутка Х, следует неравенство f (х1) > f (х2).

у

х

у

х

о

о

х1

х2

х1

х2

f (x1)

f (x2)

f (x2)

f (x1)

= f(х) на множестве Х, если:

1) в области определения существует такая точка х0, что f(х0) = m.
2) всех х из области определения выполняется неравенство
f(х) ≥ f(х0).

Число M называют наибольшим значением функции
у = f(х) на множестве Х, если:
1) в области определения существует такая точка х0, что f(х0) = M.
2) для всех х из области определения выполняется неравенство
f(х) ≤ f(х0).

Х, если все значения функции на множестве Х больше некоторого

числа.

Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве Х, если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа.

х

у

х

у

любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что

соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.


Функция выпукла вверх на промежутке Х, если соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка .