ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

п р е д е л е н и е

1. Функция называется непрерывной в точке , принадлежащей области определения , если функция имеет в точке
конечный предел, равный числу , то есть


О п р е д е л е н и е 2. Функция называется непрерывной справа (слева) в точке из , если в точке существует конечный правый (левый) предел функции , равный числу , то есть

(1)

е о р е м а 1. Функция

непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда в этой точке справедливы равенства:

,
1
1

л е н и е 3. Функция

называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в любой его точке.
Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале , непрерывна справа в точке непрерывна слева в точке .

а 2. Если функция дифференцируема в точке ,

то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно.
О п р е д е л е н и е 4. Точка , являю-щаяся предельной точкой множества , называется точкой разрыва функции , если в точке эта функция либо не определена, либо определена, но нарушено условие непрерывности.

л е н и е 5. Точка разрыва

называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке предел функции существует, но в точке либо не определена, либо значение не совпадает с найденным пределом, то есть

Пример Функция

при х =0

при х =0

Имеет в точке х=0 устранимый разрыв, т.к:

л е н и е 6. Точка разрыва

называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы, то есть:
Пример:




«знак» числа х имеет в точке х=0 разрыв первого рода, т.к:

п р е д е л е н и е

7. Точка разрыва

называется точкой разрыва второго рода функции

если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности.

имеет в точке х=0 разрыв второго рода,

так как в данном случае число y(0) не определено

у

х

0

а 3. Если функция

непрерывна в точке и существует конечный предел , то справедливо равенство:

Т е о р е м а 4. Пусть функция непрерывна в точке
и функция непрерывна в точке Тогда сложная функция непрерывна в точке .
Т е о р е м а 5. Сумма, разность, произведение, частное, суперпозиция конечного числа непрерывных функций (то есть любая элементарная функция) есть функция, непрерывная во всех точках области определения.

е д е л е н и е 8.

Прямая называется верти-кальной асимптотой кривой , если точка является для функции точкой разрыва второго рода.
О п р е д е л е н и е 9. Прямая называется наклонной асимптотой кривой на (на ), если

а 6. Кривая

имеет наклонную асимптоту на (на ) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы:


Пример Найти асимптоты графика функции:


Область определения:
непрерывна во всех точках области определения,

-1является точкой разрыва второго рода, значит прямая х = -1является

вертикальной асимптотой графика
2. Найдем наклонную асимптоту на . Вычислим:

-1 - вертикальная асимптота
y =

x -3- наклонная асимптота при и

п р е д е л е н и е

10. Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, если для любых и из этого промежутка, удовлетворяющих условию выполняется неравенство:

л е н и е 11. Точки области определения функции,

в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.
О п р е д е л е н и е 12. Пусть функция определена всюду в некоторой окрестности точки . Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность с центром в точке , что справедливо неравенство:

О п р е д е л е н и е 13. Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

а 7 (достаточное условие возрастания (убывания)). Пусть во всех точках

некоторого интервала функция дифференцируема и Тогда в этом интервале функция возрастает (убывает).


Т е о р е м а 8 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет экстремум в точке , то эта точка  критическая.

а 9 (достаточное условие экстремума). Пусть функция

дифференцируема в некоторой окрестности критической точки за исключением, быть может, самой этой точки. Если в пределах указанной окрестности функция
имеет разные знаки слева и справа от точки , то  точка экстремума. Если при этом знак производной меняется
с «» на «+», то  точка минимума,
с «+» на «», то  точка максимума.
Если в пределах указанной окрестности функция имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то в экстремума нет.

Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции:

Р е ш

е н и е. 1) Функция определена
2) Найдем производную


при и

4

знак

вывод о

+

+

-

Возраст.

Возраст.

убывает

max

min

О т в е т: интервалы возрастания:

интервалы убывания: