Исследование функций и построение графиков с помощью производной

применимой к явлениям действительного мира…»

Н.И. Лобачевский

Скажи мне, и я забуду.
Покажи мне, и я запомню.
Дай мне действовать самому,
И я научусь.
Конфуций

производной;
- выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений

по исследованию функции и ликвидировать пробелы в знаниях в соответствии с требованиями к математической подготовке учащихся.
 Развивающие.
Развивать:
- способности к самостоятельному планированию и организации работы
- навыки коррекции собственной деятельности через применение информационных технологий;
- умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании функции.
 Воспитательные.
Воспитывать:
- познавательный интерес к математике;
- информационную культуру и культуру общения;
- самостоятельность, способность к коллективной работе.

Необходимое условие возрастания и убывания функции
Достаточное условие возрастания и убывания

функции
Необходимое условие экстремума. (теорема Ферма)
Признак максимума функции.
Признак минимума функции.
Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции

м а.

Если дифференцируемая функция f(x), х(а;b), возрастает (убывает) на (а;b), то f `(x) ≥ 0 (f `(x) ≤ 0) для любого х из интервала (а;b).

х[а;b], непрерывна на отрезке [а;b] и дифференцируема на интервале (а;b),

то найдётся точка с(а;b) такая, что имеет место формула
f(a) – f(b) = f `(c)(b – a)

Если функция f имеет неотрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция f возрастает на интервале (а;b).

Если функция имеет неположительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция f убывает на интервале (а;b).

0
f `(x) > 0

Функция

убывает
 > 900

tg  < 0

f `(x) < 0

функции f(x), а затем находим точки, в которых f `(x)

равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x)

разбивается на интервалы, на каждом из которых производная f

`(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.

на каждом

из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f `(x) ≥ 0, то на этом интервале f(x) возрастает, если же f `(x) ≤ 0, то на таком интервале f(x) убывает.

точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой

точке существует производная f `(x), то она равна нулю:
f `(x) = 0.

функции f(x) = x3 обращается в нуль в точке 0,

но экстремума в этой точке функция не имеет.

0

f непрерывна в точке х0, а f `(x)

> 0 на интервале (а; х0), и f `(x) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.

f непрерывна в точке х0, f `(x) < 0 на

интервале
(а; х0) и f `(x) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f

X

Y

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

е м а. Пусть функция f(x), х(а;b), имеет первую и

вторую производные. Тогда, если f ``(x) < 0 для всех х(а;b), то на интервале (а;b) график функции f(x) выпуклый вверх, если же f ``(x) > 0 для всех х(а;b), то график функции f(x) выпуклый вниз на (а;b).

убывает
f `(x) – убывает
f ``(x)

0

График вогнутый
 - возрастает
tg  - возрастает
f `(x) – возрастает
f ``(x) > 0

1

2

A1

A2

A1

A2

производной в некоторой окрестности критический точки.
Если f

``(х) меняет свой знак при переходе аргумента через критическую точку х0, то (х0; f(х0)) - точка перегиба графика данной функции

и способов деятельности

функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум, имеет перегиб.,

максимума имеет эта функция?

у = (x2 – 1)2

электронного учебного пособия «Математика – практикум 5-11» и по индивидуальным

заданиям на местах. За компьютер сначала рассаживаются 7 учащихся, остальные за парты. По мере выполнения заданий ребята меняются местами.

есть интервал, где расти не посмею. Во всём остальном положительна, право, И

это, конечно, не ради забавы. Для чисел больших я стремлюсь к единице. Найдите меня среди прочих в таблице.