История математики

пр.д.9
номинация: История математики.
тема: Возникновение математики.

и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили

сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы.

знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и

объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийские математики древности.

новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой

математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий.

смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в

теории чисел продвинулись дальше греков.

Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том,

что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной, и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости переменных величин (функция) и общая теория движения (анализ бесконечно малых). Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному их прогрессу.

далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного

ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках». В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций: чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задач и др. В то же время мощь математики и её престиж, поддержанный эффективностью применения, высоки как никогда прежде.

Китай
3 Древняя Греция
4 Индия
5 Страны ислама
6 Западная Европа
6.1 Средневековье,

IV—XV века
6.2 XVI век
6.3 XVII век
6.4 XVIII век
6.5 XIX век
6.5.1 Геометрия
6.5.2 Математический анализ
6.5.3 Алгебра и теория чисел
6.5.4 Теория вероятностей
6.5.5 Математическая логика
8 XX век: основные достижения
8.1 Новые направления

как количество, структура, соотношение и т. п. Развитие математики началось с создания

практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов.
Понятие о натуральных числах формировалось постепенно и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от её конкретного представления. Вследствие этого счёт долгое время оставался только вещественным — использовались пальцы, камешки, пометки и т. п. Археолог Б. А. Фролов обосновывает существование счёта уже в верхнем палеолите.С распространением счёта на крупные количества появилась идея считать не только единицами, но и, так сказать, пакетами единиц, содержащими, например, 10 объектов. Эта идея немедленно отразилась в языке, а затем и в письменности. Принцип именования или изображения числа («нумерация») может быть

письменности стали использовать буквы или особые значки для сокращённого изображения

больших чисел. При таком кодировании обычно воспроизводился тот же принцип нумерации, что и в языке.

с числами. Натуральное число — это идеализация конечного множества воднородных, устойчивых

и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.). Для счёта нужно иметь математические модели таких важных событий, как объединение нескольких множеств в одно или, наоборот, отделение части множества. Так появились операции сложения и вычитания. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно.

н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве

домов, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому в настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов, что подтверждается тем, что греческие математики учились у египтян

математические задачи), и московский папирус Голенищева (25 задач), оба из

Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Авторы текста нам неизвестны.

Иероглифическая запись уравнения

треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b,

c, d вычислялась приближённо как ; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику. Площадь круга вычислялась, исходя из предположения = 3,1605 (погрешность менее 1 %).

тел, а также пирамиды и усечённой пирамиды. Пусть мы имеем

правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по оригинальной, но точной формуле: .

количестве дошли до наших дней (более 500 тыс., из них

около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п.

Вавилонские цифры

II тысячелетии до н. э., и начертание их окончательно установилось к

III веку до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Например, запись числа 1946, используя вместо иероглифов римские цифры, можно условно представить как 1М9С4Х6. Однако на практике расчёты выполнялись на счётной доске, где запись чисел была иной — позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной

Китайские и Японские счеты

странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения),

либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п.). Математической теории в полном смысле этого слова не было, дело ограничивалось сводом эмпирических правил, часто неточных или даже ошибочных.

тезис «Числа правят миром». Или, как сформулировали эту же мысль

два тысячелетия спустя: «Природа разговаривает с нами на языке математики» (Галилей). Это означало, что истины математики есть в известном смысле истины реального бытия.

Пифагор

они составили список первичных, интуитивно очевидных математических истин (аксиомы, постулаты).

Затем с помощью логических рассуждений (правила которых также постепенно унифицировались) из этих истин выводились новые утверждения, которые также обязаны быть истинными. Так появилась дедуктивная математика.

Эвклид

их отношения) была поставлена под сомнение после того, как были

обнаружены иррациональные числа. Платоновская школа (IV век до н. э.) выбрала иной, геометрический фундамент математики (Евдокс Книдский). На этом пути были достигнуты величайшие успехи античной математики (Евклид.Архимед, Аполлоний Пергский и другие).

Муза геометрии

были средства для именования чисел до 1050. Для цифр сначала

использовалась сиро-финикийская система, а с VI века до н. э. — написание «брахми», с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими.

От этих индийских значков,произошли современные цифры

характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными

областями применения математики были торговля, строительство, география, астрономия и астрология, механика, оптика.

Виз В конце XII века на базе нескольких монастырских школ

был создан Парижский университет, где обучались тысячи студентов со всех концов Европы; почти одновременно возникают Оксфорд и Кембридж антия. . В XII—XIII веках публикуются первые в Европе изложения десятичной позиционной системы записи (сначала переводы ал-Хорезми, потом собственные руководства), и начинается её применение. С XIV века индо-арабские цифры начинают вытеснять римские даже на могильных плитах.

Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи. Основной его труд: (1202 год,

второе переработанное издание — 1228 год). Абаком Леонардо называл арифметические вычисления. В книгах «Арифметика» и «О данных числах» Иордана Неморария усматриваются зачатки символической алгебры, до поры до времени не отделившейся от геометрииВ XIV веке университеты появляются почти во всех крупных странах (Прага, Краков, Вена, Гейдельберг, Лейпциг, Базель и др.).

Страница из «Книга абака»

достижения предшественников, она несколькими мощными рывками вырвалась далеко вперёд. Первым

крупным достижением стало открытие общего метода решения уравнений третьей и четвёртой степени. Итальянские математики дель Ферро, Тарталья и Феррари решили проблему, с которой несколько веков не могли справиться лучшие математики мира.При этом обнаружилось, что в решении иногда появлялись «невозможные» корни из отрицательных чисел. После анализа ситуации европейские математики назвали эти корни «мнимыми числами» и выработали правила обращения с ними, приводящие к правильному результату. Так в математику впервые вошли комплексные числа.

правилах действий с десятичными дробями, после чего десятичная система одерживает

окончательную победу и в области дробных чисел. Стевин также провозгласил полное равноправие рациональных и иррациональных чисел, а также (с некоторыми оговорками) и отрицательных чисел.

концу века облик науки коренным образом меняется. Рене Декарт исправляет

стратегическую ошибку античных математиков и восстанавливает алгебраическое понимание числа (вместо геометрического).

и Лейбницем, и появился исключительно могучий инструмент исследования — математический анализ.

Ньютон

анализа, который стал главным объектом приложения усилий математиков. Способствуя бурному

развитию естественных наук, анализ, в свою очередь, прогрессировал сам, получая от них всё более и более сложные задачи. На стыке этого обмена идеями родилась математическая физика.

кратные интегралы (Эйлер, ), причём не только в декартовых координатах.

Появляются и поверхностные интегралы (Лагранж, Гаусс). Усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных. Математики проявляют исключительную изобретательность при решении дифференциальных уравнений в частных производных, для каждой задачи изобретая свои методы решения. Сформировалось понятие краевой задачи, возникли первые методы её решения.

Лагранж

систем дал в 1750 году Габриэль Крамер. Близкую к современной

символику и глубокий анализ определителей дал Александр Теофил Вандермонд (1735—1796). Лаплас в 1772 году дал разложение определителя по минорам. Теория определителей быстро нашла множество приложений в астрономии и механике (вековое уравнение), при решении алгебраических систем, исследовании форм и т. д.

Подсчет определителя по Крамеру

самых неожиданных областях человеческой деятельности. Де Муавр и Даниил Бернулли

открывают нормальное распределение. Возникают вероятностная теория ошибок и научная статистика. Классический этап развития теории вероятностей завершили работы Лапласа.Однако приложения её к физике тогда ещё почти отсутствовали (не считая теории ошибок).

Нормальное и биномиальное распределение

необычными свойствами: неевклидовы и многомерные геометрии, кватернионы, конечные поля, некоммутативные

группы и т. п.
Объектами математического исследования всё больше становятся нечисловые объекты: события, предикаты, множества, абстрактные структуры, векторы, тензоры, матрицы, функции, многолинейные формы и т. д.
Возникает и получает широкое развитие математическая логика, в связи с чем появилось искушение связать именно с ней коренные основания математики.
Георг Кантор вводит в математику предельно абстрактную теорию множеств, а заодно понятие актуальной бесконечности произвольного масштаба. В конце века при попытке обосновать фундамент математики на основе теории множеств были обнаружены противоречия, которые заставили задуматься над непростыми вопросами: что означает «существование» и «истинность» в математике?

преимуществу стал веком геометрии. Быстро развиваются созданные в конце XVIII

века начертательная геометрия (Монж, Ламберт) и возрождённая проективная геометрия (Монж, Понселе, Лазар Карно). Появляются новые разделы: векторное исчисление и векторный анализ, геометрия Лобачевского, многомерная риманова геометрия, теория групп преобразований. Происходит интенсивная алгебраизация геометрии — в неё проникают методы теории групп, в конце века — топологии, возникает алгебраическая геометрия.

Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях» Крупнейшим достижением стало введение

понятия вектора и векторного поля. Первоначально векторы ввёл У. Гамильтон в связи со своими кватернионами (как их трёхмерную мнимую часть) Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла, заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид.

Соприкасающаяся для кривой и три вектора Френе

Тот факт, что даже у классической геометрии существует альтернатива, произвёл

огромное впечатление на весь научный мир. Он также стимулировал переоценку многих устоявшихся стереотипов в математике и физике.

Н.К Лобачевский

эволюции. Широчайшее развитие получила теория аналитических функций комплексного переменного, Многочисленные

прикладные задачи деятельно стимулировали теорию дифференциальных уравнений, выросшую в обширную и плодотворную математическую дисциплину.

геометрическая теория чисел
Эварист Галуа, опередивший своё время, представляет глубокий анализ

решения уравнений произвольных степеней. Ключевыми понятиями исследования оказываются алгебраические свойства связанных с уравнением группы подстановок и полей расширения. Галуа завершил работы Абеля, доказавшего, что уравнения степени выше 4-й неразрешимы в радикалах.

Кэли публикует общую теорию матриц, определяет операции над ними, вводит

характеристический многочлен. К 1870 году доказаны все базовые теоремы линейной алгебры, включая приведение к жордановой нормальной форме.
В 1871 году Дедекинд вводит понятия кольца, модуля и идеала. Он и Кронекер создают общую теорию делимости.

Кэли

приложения. Этим занимались Гаусс, Пуассон, Коши. Была выявлена важность нормального

распределения как предельного во многих реальных ситуациях.
Во всех развитых странах возникают статистические департаменты/общества. Благодаря работам Карла Пирсона возникает математическая статистика с проверкой гипотез и оценкой параметров.
Всё же математические основы теории вероятностей в XIX веке ещё не были созданы, и Гильберт в начале XX века отнёс эту дисциплину к прикладной физике.

Карл Пирсон

универсума и символы для логических операторов, записал известные «законы де

Моргана». Позже он ввёл общее понятие математического отношения и операций над отношениями.

заметно выше. Математика развивалась экспоненциально, и невозможно сколько-нибудь полно перечислить

сделанные открытия, но некоторые наиболее серьёзные достижения упомянуты ниже.

представил список из 23 нерешённых математических проблем. Эти проблемы охватили

множество областей математики и сформировали центр приложения усилий математиков XX столетия. Сегодня десять проблем из списка решены, семь частично решены, и две проблемы всё ещё открыты. Оставшиеся четыре сформулированы слишком обобщённо, чтобы имело смысл говорить об их решении.
Особенное развитие в XX веке получили новые области математики; кроме компьютерных потребностей, это во многом связано с запросами теории управления, квантовой физики и других прикладных дисциплин.

Гильберт

групп Ли и других абстрактных структур.
Теория игр.
Теория информации.
Теория компьютерного моделирования.
Теория

оптимизации, в том числе глобальной.
Теория случайных процессов.
Топология.
Функциональный анализ.

особенно для функций многих переменных
Математическая физика
Риманова геометрия
Теория вероятностей

упомянутых в данном разделе) такие имена:
Жак Адамар — теория чисел.
Павел Сергеевич

Александров— топология.
Стефан Банах — функциональный анализ, теория множеств.
Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр — анализ, топология, теория множеств, философия математики.
Герман Вейль — алгебра, анализ, теория чисел, математическая логика, математическая физика и др.
Норберт Винер — создатель кибернетики.
Израиль Моисеевич Гельфанд — функциональный анализ, топология, алгебра, группы Ли, математическая физика и др.
Жан Дьёдонне — функциональный анализ, группы Ли, топология, алгебраическая геометрия.
Анри Картан — анализ, топология.
Джон фон Нейман — математическая логика и теория компьютеров, математическая физика, теория множеств, информатика, экономика, теория игр и др.
Альфред Тарский — математическая логика.
Альфред Норт Уайтхед — математическая логика.
Феликс Хаусдорф — топология, теория множеств, функциональный анализ, теория чисел.
Александр Яковлевич Хинчин — теория вероятностей.
Алонзо Чёрч — информатика, математическая логика.
Клод Элвуд Шеннон — информатика, кибернетика.
Эрнст Цермело — математическая логика, теория множеств.

Просвещение, 1964. — 376 с.

Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего

Египта, Вавилона и Греции — М.: Наука, 1959. — 456 с.

http://dic.academic.ru
http://www.wikiznanie.ru