Как вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников, трапеций и

методом Симпсона?
Автор-составитель:
Чех Виктория, ГД-12-3

учебники по данной теме насчитывают сотни страниц. На практике, в

контрольных работах традиционно предлагаются для решения некоторые задачи по численным методам, и одной из распространенных задач является – приближенное вычисление определенных интегралов. В этой презентации я рассмотрю три метода приближенного вычисления определенного интеграла – метод прямоугольников, трапеций и метод Симпсона.
Что нужно знать, чтобы освоить данные методы? Прозвучит забавно, но можно вообще не уметь брать интегралы. И даже вообще не понимать, что такое интегралы. Из технических средств потребуется микрокалькулятор

подынтегральные функции не имеют первообразных в виде элементарных функций, поэтому

мы во многих случаях не можем найти точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. С другой стороны, точное значение не всегда и нужно. На практике нам часто достаточно знать приближенное значение определенного интеграла с некоторой заданной степенью точности (например, с точностью до одной тысячной). В этих случаях нам на помощь приходят методы численного интегрирования, такие как метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона (парабол) и т.п.

на отрезке [a;b].
h= (b-a)/n – шаг, где n – количество

начальных условий.
Xk=X0+k*h.
Вычислим интеграл с помощью 3-х следующих методов.

отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл .

Обратимся к понятию определенного интеграла. Разобьем отрезок [a;b] на n частей точками . Внутри каждого отрезка выберем точку . Так как по определению определенный интеграл есть предел интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка разбиения , то любая из интегральных сумм является приближенным значением интеграла .

Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму

y=f(x) приближается кусочной ступенчатой

[a;b] точное значение определенного интеграла представляет собой площадь криволинейной трапеции,

а приближенное значение по методу прямоугольников – площадь ступенчатой фигуры.

методом прямоугольников.xls f(x)=п*х/(x+0,2)^2 – проинтегрировать функцию на отрезке от 1 до

2 с шагом в 0,2

(или второй производной для метода средних прямоугольников) подынтегральной функции на

отрезке интегрирования является очень трудоемкой процедурой.

Поэтому можно действовать без использования неравенства для оценки абсолютной погрешности методов численного интегрирования.

метод прямоугольников. Криволинейная трапеция заменяется на сумму нескольких трапеций и

приближённое значение определённого интеграла находится как сумма площадей трапеций.

порядка

на отрезке от 1 до 2 с шагом в 0,2

функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных

отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

на отрезке от 1 до 2 с шагом в 0,2

было посчитать интеграл с помощью технических средств. Существуют также и другие

способы решение интегралов: 1) Метод Гаусса 2) Метод Гаусса-Кронрода 3) Метод Чебышева 4) Методы Монте-Карло 5) Методы Рунге-Кутты