Кодирование числовой информации - Системы счисления

количестве обнаруженных им предметов.
Сначала люди просто различали один предмет

перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много».

Первыми понятиями математики были "меньше", "больше" и "столько же". Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

помощью можно было считать до 5, а если взять две

руки, то и до 10.

десятичная.

для счета пальцами как рук, так и ног. Таким образом

они могли, казалось бы, считать лишь до двадцати.
Но с помощью этой «босоногой машины» люди могли достигать значительно больших чисел,
1 человек - это 20,
2 человека - это два раза по 20 и т.д.

До сих пор существуют в Полинезии племена, которые для счета используют с 20-ую систему счисления

и ног добавляли механические приспособления.
Способов счета было придумано немало:

В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации:

Например, перуанцы употребляли для запоминания чисел разноцветные шнуры с завязанными на них узлами.

дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько

групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения.

С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян.
Когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми "ртами", выполнялась операция деления.

только люди научились считать. Количество предметов изображалось нанесением черточек или

засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине и т.д.

=

Люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или ветках деревьев

периоду палеолита (10 - 11 тыс. лет до н. э.)

Этот способ записи чисел называют единичной ("палочной”, “унарной”) системой счисления  
Любое число в ней образуется повторением одного знака - единицы.

стали искать более компактные способы обозначать большие числа.
Появились специальные обозначения

для «пятерок», «десяток», «сотен» и т.д.

=

Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны.

эту систему около 5 000 лет тому назад.
Это одна из

древнейших систем записи чисел, известная человеку

Египетская нумерация

использовали палочки
Каждая единица изображалась отдельной палочкой

Такими путами египтяне связывали

коров Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.

1

10

Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.

100

1000

Цветок лотоса

Египетская нумерация

головастик

100 000

1 000 000

10 000 000

Египтяне поклонялись богу Ра, богу Солнца и, наверное, так изображали самое большое свое число

Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу

1000

Поднятый палец - будь внимателен

последовательного
удвоения чисел - фактически представлением числа в двоичной системе

нового типа, так называемая алфавитная нумерация.
Алфавитная нумерация
В этой системе

записи числа обозначались при помощи букв алфавита., над которыми ставились черточки: первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять - числа 10, 20, 30, ..., 90, и следующие девять - числа 100, 200, ..., 900.
Таким образом, можно было обозначать любое число до 999.

кириллическая нумерация

число получалось как сумма значений отдельных букв.
Например, записи –

ϕλβ βϕλ ϕβλ все эквивалентны и означают число 532.
Однако выполнять арифметические вычисления в такой системе было настолько трудно, что без применения каких-то приспособлений оказалось обойтись практически невозможно

500 - ϕ
- λ
2 - β

λ β
500 30 2

β ϕ λ
2 500 30

ϕ β λ
500 2 30

Древнегреческая нумерация

90

900

тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. Если

посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите.

Алфавитная система была принята и в Древней Руси.

Славянская кириллическая нумерация

— титло ( ~ ).

До XVII века эта форма

записи чисел была официальной на территории России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Так можно было записывать числа до 999. Для больших чисел использовался знак тысяч ≠, который ставился впереди символа, обозначавшего число

циферблате часов, и т. д. Возникла эта нумерация в древнем Риме.

В ней имеются узловые числа: один, пять и т. д.
Остальные числа получались путем прибавления или вычитания одних узловых чисел из других

Это нумерация, известная нам и в настоящее время. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни.

Например,
четыре записывается как IV, т. е. пять минус один,
восемь — VIII (пять плюс три), сорок—XL (пятьдесят минус десять),
девяносто шесть—XCVI (сто минус десять плюс пять и плюс еще один) и т. д.

в настоящее время.

Применяемые в настоящее время цифры 1234567890 сложились в

Индии около 400 г.н.э Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г.н.э., а примерно в 1200 г.н.э. ее начали применять в Европе, однако в Европе они стали известны благодаря трудам арабских математиков, и потому за ними утвердилось название «арабские», хотя сами арабы вплоть до настоящего времени пользуются совсем другими символами.
Арабские цифры:
В России арабская нумерация стала использоваться при Петре I (до конца XVII века сохранилась славянская нумерация)

Арабская нумерация

МУЛЬТИПЛИКАТИВНОМ ПРИНЦИПЕ. В таких системах для записи одинакового числа единиц,

десятков,сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда.

Если десятки обозначить символом Д,
а сотни - С, то число 325 будет выглядеть
так : 3С2Д5.

Между II и VI вв.н.э. Индийцы познакомились с греческой астрономией.

Индийцы и соединили греческие принципы нумерации со своей десятичной мультипликативной системой.

буквально "пустое место"
Это слово применялось для названия знака

пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто). Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.

По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры

помощью набора символов, называемых цифрами.
Количество цифр (знаков), используемых для

представления чисел называют Основанием системы счисления

десять цифр.
Так что не представляем себе иных способов счета.
Но до

наших дней сохранились что следы счета шестидесятками.
Ведь до сих пор мы делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Окружность делят на 360, то есть 6*60 градусов, градус - на 60 минут, а минуту - на шестьдесят секунд.
в сутках 24 часа, а в году 365 дней. Таким образом,
время (часы и минуты) мы считаем в 60-ной системе,
сутки - в 24-ной,
недели в 7-ной,

величина, не зависящая от её места в записи числа
Системы счисления,

в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число

Древнегреческая, кириллическая, римская

Десятичная, двоичная и т.д.

где она стоит относительно другой цифры:
записи XII и

IX. Здесь в обоих случаях цифра "I" стоит на 2-ом месте справа,
но в одном случае ее нужно прибавлять к 10, а в другом вычитать!

в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от

её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число
Например, в числе 53 цифра "5" в разряде десятков дает числу вклад в 50 единиц (5*10).

Позиционные системы счисления результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления

имеет свое значение: четыре сотни, четыре десятка и четыре единицы. То есть

его можно записать вот так:
444 = 4 × 100 + 4 × 10 + 4 × 1.
или
444 = 4 × 102 + 4 × 101 + 4 × 100.
Нетрудно заметить, что если обозначить цифры числа как a2, a1 и a0, то любое трехзначное число может быть представлено в виде:
N = a2 × 102 + a1 × 101 + a0 × 100.
Число 10, степени которого используются в этой формуле (и именно столько разных цифр есть в десятичной системе), называют основанием системы счисления, а степени десятки -- весами разрядов.

представления информации в памяти компьютера.
0,1
0,1,2,3,4,5,6,7
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения

арифметических действий над двоичными числами. Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры.
Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов.

двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими

системами:
- для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной
- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
- двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы —
быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости

и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина.
Для программистов удобнее работать с более компактной записью.
Такими системами и являются 8-аяи 16-ая

10000000001 - двоичная 10000000001

1

0

0

2

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина.
Для программистов удобнее работать с более компактной записью.
Такими системами и являются 8-аяи 16-ая

10000000001 - двоичная 10000000001

1

0

4

восьмеричная

шестнадцатеричная