Комплексные числа

над комплексными числами
Показательная форма комплексного числа

действительные числа, i – мнимая единица, определяемая равенством:
а называется действительной

Если а = 0, то число i b называется чисто мнимым.
Если b = 0, то получается действительное число а.

Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными:

плоскостью комплексной переменной.
A(a; b)
a
b
Точкам, лежащим на оси OX, соответствуют действительные

Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа (a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.

z можно представить в виде:
φ
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Аргумент

r

2

Сложение и вычитание комплексных чисел.

Умножение комплексных чисел.
Сложение и вычитание

z1

z2

z1 + z2

z1 - z2

При любом целом k:

по формуле:
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
Произведение сопряженных комплексных

Деление комплексных чисел.
Если комплексные числа

Возведение в степень комплексного числа.
6

Извлечение корня из комплексного числа.

–1, получим n различных значений корня.
Для других значений k аргументы

Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n значений, так как действительное число – частный случай комплексного числа и может быть представлено в тригонометрической форме:

Комплексные значения функции w определяются по формуле:
Пример:
(1)

0, то получим:
Эта формула называется формулой Эйлера, выражающая показательную

(2)

Заменим в формуле (2) y на – y:

(3)

Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :

По формуле Эйлера:
Следовательно, всякое комплексное число можно представить в показательной

Действия над комплексными числами в показательной форме:

Пусть имеем:

Тогда: