КУРС ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ГЕОЛОГИИ Курамшин Ринат

кафедры,
Генеральный директор ООО «Технопром»
ЛЕКЦИЯ № 4

для изучения одного свойства.
Пусть имеется система, состоящая из множества

модели лежат три гипотезы:
измеренные значения х1, х2, …, хn носят

Гипотеза о случайном характере свойств обусловлена тем, что природные геологические системы и объекты являются весьма сложными, на каждое измеренное значение влияет множество разнонаправленных факторов.
Кроме того, каждое измерение сопровождается случайной погрешностью.
Данная гипотеза позволяет применять для математической обработки значений х1, х2, …, хn аппарат (теоремы, формулы, уравнения, законы) теории вероятностей.

измеренных значений менее очевидна.
Предполагается, что на результат каждого отдельного

характеристик случайной величины.
К наиболее распространенным статистическим характеристикам одномерной случайной

размах
медиана,
мода, среднее значение,
дисперсия,
среднеквадратичное отклонение,
коэффициент вариации,
асимметрия,
эксцесс и т.д.

характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и

из следующих форм средней величины:
средняя арифметическая;
средняя

Перечисленные средние (кроме средней геометрической) объединяются в общей формуле средней степенной (при различной величине k):

Помимо степенных средних также используются средние структурные, среди которых наиболее распространены мода и медиана.

СУЩНОСТЬ И ЗНАЧЕНИЕ СРЕДНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным

ПРИМЕР: Добыча скважин за месяц

средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторятся, встречаться на

ПРИМЕР: Расчет среднего значения пористости

представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях

Расчет среднего значения пористости выполнен по формуле средней арифметической взвешенной:

или

Использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину:

или

Свойства средней арифметической:

центральных моментов, представляющих собой характеристики вариационного ряда при
4.

Свойства средней арифметической:

уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая соответственно

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не измениться:

Свойства средней арифметической:

исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель
Средний дебит по нефти

Общую добычу мы получим простым суммированием по предприятиям.
Данные же о количестве скважин в таблице отсутствуют, но их можно получить разделив добычу по каждому предприятию на дебит.

тыс.т на скважину.
Расчет был произведен по формуле средней гармонической взвешенной:

реже, имеет следующий вид:
Средняя геометрическая:
невзвешенная
взвешенная
Наиболее широкое применение этот

ДРУГИЕ ВИДЫ СРЕДНИХ

показателей вариации.
В статистической практике также находят применение степенные средние 3-го

ДРУГИЕ ВИДЫ СРЕДНИХ

простой средней арифметической.
При вычислении по данным ранжированного вариационного ряда

В отличие от средней арифметической, рассчитываемой на основе использования всех вариантов значений признака, мода и медиана характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду.

которая в данной совокупности встречается наиболее часто.
ПРИМЕР: Определение моды по

данным таблицы видно, что наибольшую частоту (70 скв) имеет группа

равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами –

ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

с границами 4-5 в данном распределении будет модальным, так как

Таким образом, в данной совокупности самым распространенным значением дебита является дебит со значением 4,2 т/сут.

ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

значение признака у случая m+1 будет медианным.
ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В

средней арифметической из двух данных значений.
Положение медианы в ряду распределения

ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

по данным вариационного ряда из 11 скважин, имеющих дебиты: 5,

Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана практически выполняет функцию средней величины для неоднородной совокупности, не подчиняющейся нормальному закону распределения.

ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

добычи нефти по группе из 100 скважин, 99 из которых

ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

котором будет находиться медиана.
Для определения ее величины используется специальная формула:
где

ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

графически.
Мода определяется по гистограмме распределения.
Выбирается самый высокий прямоугольник,

ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

соответствующей 50 %, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения

ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

единиц ранжированной совокупности могут быть использованы:
средняя арифметическая
мода
медиана
Каждая их них имеет

Основной характеристикой центра распределения является средняя арифметическая, для которой характерно то, что все отклонения от нее (положительные или отрицательные) в сумме равны нулю.
Для медианы характерно то, что сумма отклонений от нее по модулю является минимальной.
Мода представляет собой значение признака, которое наиболее часто встречается.
В зависимости от цели исследования распределения должна выбираться одна из упомянутых характеристик, либо же для сравнения вычисляются все три.

ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.
В симметричных распределениях

ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

всей совокупности изучаемого явления.
Однако, исчислив среднюю арифметическую по данным

абсолютные
относительные.

вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

К

единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака.
Размах

НАПРИМЕР: пористость, проницаемость, толщина.

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

размаха вариации:
очень низкое и очень высокое значение параметра (признака) по

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

все колебания варьирующего признака и давал обобщенную его характеристику.
Для

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

происходит колебание, рассеяние значений параметра (признака).
При обобщении этих колебаний необходимо

простая:

взвешенная:

Поскольку сума отклонений значений признака от средней величины равна нулю, приходится все отклонения брать по модулю.

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

РАСЧЕТА

Это отклонение по сравнению со средней величиной признака небольшое.
Оно отличается

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

средней величины и в зависимости от исходных данных вычисляется по

простой дисперсии:

взвешенной дисперсии:

Расчет дисперсии может быть упрощен.
В случае равных интервалов в вариационном ряду распределения используется способ отсчета от условного нуля (способ моментов).
Для его понимания необходимо знать математические свойства дисперсии.

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

значений признака на одну и ту же величину А не

3. Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в k раз.

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

вполне определенную величину – на квадрат разности средней и этой

или

Дисперсия от средней всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин, т.е. она имеет свойство минимальности

В случае когда А приравнивается к нулю, отклонения не вычисляются, формула принимает вид:

или

Средний квадрат отклонений равен среднему квадрату значений признака минус квадрат среднего значения признака.

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

способу моментов, или способу отсчета от условного нуля, который применяется

Расчет производится по формуле:

где k – ширина интервала;
A – условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;

Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений, а варианты признака выражены в первой степени.

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

При этом, чем выше показатель степени, тем больше количественное значение

Среднее квадратическое отклонение играет важную роль в анализе вариационных рядов распределения.
В условиях нормального распределения существует следующая взаимосвязь между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений:

В действительности на практике почти не встречаются отклонения, которые превышают ±3σ. Отклонение 3σ считается максимально возможным. Это положение называется правилом трех сигм.

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

данной совокупности невелика, т.к. средняя величина равна 50 тыс.т. Это

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того

Различают следующие относительные показатели вариации (V):

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

ИХ РАСЧЕТА

квартильного отклонения (Q), предложенной английским биологом и антропологом Ф. Гальтоном:
где

Эта формула дает абсолютный квартильный показатель вариации.
В симметричных или умеренно симметричных распределениях Q=2/3σ/
Так как на квартильное отклонение не влияют отклонения всех значений признака, то его использование следует ограничить случаями, когда определение среднего квадратического отклонения затруднено или невозможно.
В частности, этот показатель может быть рекомендован для рядов распределения с открытыми интервалами.
В целях сравнения вариации в различных рядах вычисляют относительный квартильный показатель вариации по формуле:

где Ме – медиана ряда распределения

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

распределения и степени вариации не дают понятия о форме распределения,

равновеликие части.

Различают:

квартиль нижний (Q1), отделяющий ¼ часть совокупности с

Вторая квартиль Q2 является медианой.
Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы.

СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОКАЗАТЕЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ

25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1;
25% единиц будут заключены между Q1 и Q2;
25 % единиц будут заключены между Q2 и Q3;
25% единиц превзойдут Q3.

Это означает, что:

ВАРИАЦИОННОГО РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОКАЗАТЕЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ

это значения вариант, которые делят ранжированный ряд на десять равных

1-й дециль (d1) делит совокупность в соотношении 1/10 к 9/10,
2-й дециль (d2) – в соотношении 2/10 к 8/10 и т.д.

и т.д.

СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОКАЗАТЕЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ

Вычисляются децили по той же схеме, что и медиана, и квартили:

Слово «перцентиль» относится непосредственно к элементу распределения или к значению,

СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОКАЗАТЕЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОКАЗАТЕЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ

вариационного ряда возникает необходимость дать относительную характеристику степени вариации ряда

1. Если заданы 3-я (Q3) и 1-я (Q1) квартили, то вместо коэффициента вариации (V), можно вычислить коэффициент дифференциации по формуле:

В большинстве случаев коэффициент вариации (V) составляет примерно 1,5 коэффициента дифференциации (Kv), т.е.

СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОКАЗАТЕЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ

децили, то децильный коэффициент дифференциации (Kd) вычисляется по формуле:

СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОКАЗАТЕЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ

частности определяются моменты распределения.
Способ моментов был разработан русским математиком П.Л.Чебышевым

При исчислении средней в качестве весов могут быть использованы частоты, частости или вероятности. При использовании в качестве весов частот или частостей моменты называются эмпирическими, а при использовании вероятностей – теоретическими.

как соотношение суммы произведений k–х степеней отклонений вариантов от постоянной

В зависимости от выбора постоянной величины А различают три вида моментов:

1. Начальные моменты (Мk) получаются, если постоянная величина А равна нулю (А=0):

МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

А равном не нулю, а некоторой производной величине х0 (начало

С помощью условных моментов упрощается расчет основных характеристик ряда распределения. При подстановке различных значений k получаем начальные моменты относительно х0. Так, например, если k=1, то:

МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

на него можно разделить отклонения, а по окончании вычислить полученный

МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

4-го порядков, которые представлены в таблице
МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ГРУППИРОВОК И КЛАССИФИКАЦИЙ
Согласно формуле Стерджесса выбор числа групп зависит от

Существует несколько способов определения оптимального числа групп

Первый способ (метод) - Формула Стерджесса

n - число групп
N - число единиц совокупности

показателя среднего квадратического отклонения (σ)
Весь диапазон изменения показателя предполагается равным.

признака в совокупности
Хmin –минимальное значения признака в совокупности;
n – число

Интервал группировки - это интервал значений варьирующего признака, лежащих в пределах определенной группы.
Каждый интервал имеет свою ширину, верхнюю и нижнюю границы или хотя бы одну из них.
Нижняя граница интервала – наименьшее значение признака в интервале, а верхняя граница – наибольшее значение признака в нем.
Ширина интервала (ее еще часто называют интервальной разностью) –разность между верхней и нижней границами интервала.
Интервалы группировки бывают равные и неравные. Последние делятся на прогрессивно возрастающие, прогрессивно убывающие, произвольные и специализированные.
Если вариация признака проявляется в сравнительно узких границах и распределение носит более или менее равномерный характер, то строят группировку с равными интервалами.

Величина равного интервала определяется по следующей формуле:

R = Хmax – Хmin

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГРУППИРОВОК И КЛАССИФИКАЦИЙ

один знак до запятой (например: 0,86; 1,372; 5,8), то в

Правила определения, шага интервала

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГРУППИРОВОК И КЛАССИФИКАЦИЙ

(число единиц совокупности)
Хmin =290 (минимальное значение признака в совокупности)
Хmax

Открытый интервал – интервал, у которого указана только одна граница: верхняя – у первого, нижняя – у последнего

Закрытый интервал – интервал, у которого обозначены обе границы

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГРУППИРОВОК И КЛАССИФИКАЦИЙ

значительных размерах, что характерно для толщин пластов, дебитов скважин и

в геометрической прогрессии:

a-константа – число, которое будет положительным при прогрессивно возрастающих интервалах и отрицательным при прогрессивно убывающих интервалах;
q-константа –положительное число, которое при прогрессивно возрастающих интервалах будет больше 1, а при прогрессивно убывающих - меньше 1.

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГРУППИРОВОК И КЛАССИФИКАЦИЙ

интервалы группировок – интервалы, применяющиеся для выделения из совокупности одних

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГРУППИРОВОК И КЛАССИФИКАЦИЙ

государственной и международной статистики. Если в каждом конкретном исследовании строится

От группировок следует отличать классификацию.
Классификация – систематизированное распределение явлений и объектов на определенные группы, классы, разряды на основании их сходства и различия.

Отличительные черты классификации:

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГРУППИРОВОК И КЛАССИФИКАЦИЙ

Цель классификации - однозначно идентифицировать единицы совокупности, обеспечить эффективный поиск информации и ее систематизацию, достичь сопоставимости с международными стандартами.

распределение единиц совокупности по одному существенному признаку, разновидности которого расположены

По своей конструкции ряд распределения состоит из двух элементов:
вариантов (групп по выделенному признаку)
частот (численности групп).

Частоты, выраженные в виде относительных величин (доли единиц, процентов), называются частостями.
Сумма всех частот называется объемом распределения, или его численностью.

Сумма частостей равна 1, если они выражены в долях единицы, и 100%, если они выражены в процентах. Он оформляется в виде статистической таблицы.

(прерывному или непрерывному) признаку.
В первом случае они называются атрибутивными, во

ПРИМЕР атрибутивного ряда

Распределение добычи нефти по формам собственности

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРУППИРОВКИ

принимающему только целые значения.
ПРИМЕРОМ данного ряда является распределение законченных

Вариационные ряды распределения по способу построения бывают дискретные и интервальные.

Дискретный вариационный ряд распределения.

Распределение законченных разведочным бурением скважин по месторождениям в крае N

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРУППИРОВКИ

составляющий основание группировки, может принимать в определенном интервале любые значения.

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРУППИРОВКИ

распределения с неравными интервалами
Распределение отобранных проб нефтей по скважинам
N-го

Распределение пропластков по проницаемости, полученным по результатам ГИС в скважинах

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРУППИРОВКИ

для расчета моды (*САМОСТОЯТЕЛЬНО рассмотреть к семинару расчёт моды)

Абсолютная плотность распределения

это частота, приходящаяся на единицу длины интервала

Относительная плотность распределения

это частость, приходящаяся на единицу длины интервала

Плотность распределения

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРУППИРОВКИ

распределения, заключающееся в построении ряда накопленных частот (кумулятивного ряда).
Кумулятивный

один показывает число случаев, менее определенного значения варьирующего признака,
а другой - число случаев, превышающее определенное значение варьирующего признака.

Этот ряд показывает число случаев ниже или выше определенного уровня.

Отсюда и возникают два варианта в построении ряда накопленных частот:

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРУППИРОВКИ

плоскостные диаграммы, построенные в прямоугольной системе координат: полигон, гистограмма, огива,

ПРИМЕР

Распределение законченных разведочным бурением скважин по месторождениям в крае N

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРУППИРОВКИ

для изображения интервального вариационного ряда, который представляют столбики с основаниями,

ПРИМЕР

Гистограмма распределения отобранных проб нефтей по скважинам N-го месторождения

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРУППИРОВКИ

использоваться кумулятивная кривая.
При помощи кумуляты изображается ряд накопленных частот.
ПРИМЕР
Кумулята

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРУППИРОВКИ

ординаты которых - варианты, а абсциссы - накопленные частоты (или

ПРИМЕР

Огива распределения отобранных проб нефтей по скважинам N-го месторождения

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРУППИРОВКИ

используется для характеристики процессов концентрации, дифференциации, специализации и т.д.
В геологии

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРУППИРОВКИ

интервальном ряду распределения.
Решить задания №1,2,3,4.

ПОЛУЧЕННЫМ ДАННЫМ

месторождениям в регионе N.
ОПРЕДЕЛИТЬ и СДЕЛАТЬ ВЫВОД ПО ПОЛУЧЕННЫМ

ВЫВОД ПО ПОЛУЧЕННЫМ ДАННЫМ
Рассчитать моду.
Определить медиану.
Сделать вывод о соотношении

ПО ПОЛУЧЕННЫМ ДАННЫМ
Размах и среднее линейное отклонение.
Дисперсию и среднее квадратическое