Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о

Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени

квантовых методов Монте-Карло является погрешность троттеровского разложения:


Систематическая погрешность разложения приводит

к невозможности расчетов при достаточно низких температурах; кроме того, проблема неэргодичности схем расчета траекторных методов, связанная с локальностью алгоритма шахматной доски и трудностями расчета winding numbers, функций Грина и других нелокальных корреляторов, а также с работой алгоритма при постоянном числе частиц, тоже ограничивает эффективность использования дискретных методов
Малая вероятность обновления траекторий. Вероятность создания пары кинк – антикинк:

метод МК – траекторный метод в непрерывном времени (английская аббревиатура

– CTWL, Continuous-Time World Line)
Метод основывается на точном выражении для разбиения статистической суммы в представлении взаимодействия
Метод свободен от систематической ошибки, связанной с троттеровским разбиением мнимого времени, и может быть применен для исследования достаточно произвольных решеточных (и не только) моделей; возможны расчеты как в малом, так и большом каноническом ансамблях
CTWL-алгоритм напрямую суммирует ряды диаграмм для моделей в дискретном и непрерывном базисах

разбиение условно и диктуется только конкретной моделью и удобством работы

с конкретными базисными функциями

Мацубаровский оператор эволюции:


Вид операторов в представлении взаимодействия:

Уравнение для мацубаровского оператора эволюции:


Упорядочение по времени для двух произвольных операторов:

представлении взаимодействия:



С учетом временного упорядочения:

эволюции:




Выражение для статистической суммы:



Дискретный аналог:

совокупность кинков с соответствующими энергиями переходов и временными интервалами

параметры – матричный элемент, диагональная энергия переходов и его положение

на временной шкале:







Фактически CTWL-метод Монте-Карло производит полное суммирование фейнмановских диаграмм

заполнения, так что за возмущение выбирается недиагональная в этом базисе

кинетическая энергия, и тогда кинком является перескок частицы между узлами:




Каждый кинк вносит в статистический вес малый множитель ~dτ, но это не препятствует вычислениям – взвешивается не отдельная конфигурация, а их совокупность в некотором интервале. Малость статистического веса в точности компенсируется большим количеством возможных топологически равных конфигураций, отличающихся только расположением времен на шкале мнимого времени

глобальные обновления системы, изменяющие числа оборотов траекторий

с нефиксированным числом частиц. Для того чтобы схема могла работать

с переменным числом частиц, в гамильтониан можно ввести фиктивное слагаемое:



Фиктивному слагаемому в гамильтониане соответствуют кинки, создающие разрывы траекторий. При расчете физических величин учитываются только те конфигурации, в которых нет разрывов траекторий. Фиктивные конфигурации используются только как промежуточные для эффективного обновления реальных конфигураций

фиктивными конфигурациями траекторий с разрывами
Разрывы, перемещаясь по системе, могут встречаться

и взаимно уничтожаться на любом узле, изменяя полное число частиц в системе и числа оборотов траекторий. Разомкнутые траектории с разрывами называются червями (worms), а сам алгоритм называется червячным алгоритмом (worm algorithm)
Фиктивные (виртуальные) состояния с присутствием червей чрезвычайно ускоряют сходимость

без разрывов
Фиктивные состояния также несут физическую информацию, например, они отражают

статистику мацубаровской функции Грина
Главные процессы обновления траекторий, формирующие статистику, – процедуры изменения состояний разрывов траекторий (червей)
В статистический вес конфигурации без разрывов множитель η не входит, а потому соотношения между статистическими весами состояний без червей остаются неизменными. Следовательно, значение η можно выбирать произвольно, исходя из соображений удобства и скорости расчета
В зависимости от задачи можно либо ввести ограничение на количество червей в системе, либо допустить возможность появления произвольного числа червей

Метрополиса

а классы конфигураций
Временное окно для класса конфигураций:

чисел заполнения:

на другой пространственный узел







Сравним теперь исходную траекторию с прямым хвостом

с классом траекторий, у которых прыжок червя (кинк) не фиксирован по времени

самf себе служит обратным процессом



Процедура сдвига происходит безусловно

замкнутые линии без перескоков. Можно взять в качестве начального состояния

вообще пустое пространство с отсутствием частиц или любую другую допустимую конфигурацию
Случайным образом выбирается тип процедуры
Выбирается место действия процедуры и границы временного окна
Рассчитываются коэффициента и нормировочные множители
В зависимости от значения R процесс случайным образом принимается или отвергается
Для некоторых процессов определяются временные точки
Рассчитываются и суммируются необходимые средние от физических величин. Затем процесс повторяется, начиная с п. 2
Все погрешности величин рассчитываются в соответствии с автокорреляционным анализом

энергия, рассчитываются легко. Для этого следует на каждом диагональном участке

траекторий рассчитать произведение значения соответствующего оператора на этом участке на длину этого участка, и затем усреднить результат по всей конфигурации:

фиктивным состояниям. Сбор гистограммы по взаимному пространственно-временному положению двух хвостов

червя приводит к расчету температурной функции Грина:

и ее предельного случая при равных временах – матрицы плотности:


Нормировка:

Хаббарда:

плотности системы в двумерной модели Бозе – Хаббарда: