Лектор ДьяконоваН.В.. 20 1 1 г. Дифференциальные уравнения Тема: Линейные

ДьяконоваН.В..
2011 г.

Дифференциальные уравнения



Тема: Линейные дифференциальные

уравнения n-го порядка

определения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, линейное

относительно неизвестной функции y и ее производных y  , y  ,  … , y(n), т.е. уравнение вида
p0(x)y(n) + p1(x)y(n – 1) + … + pn – 1(x)y  +  pn(x)y = g(x) , (7)
где pi(x) (i = 0, 1, 2, …, n) и g(x) – заданные функции.
Если g(x) ≡ 0, то уравнение (7) называется линейным однородным.
Если g(x) ≢ 0 , то уравнение (7) называется линейным неоднородным (или уравнением с правой частью).

(8) называют приведенным.
В дальнейшем будем работать только с приведенным уравнением.

Кроме того, будем предполагать, что ai(x) (i = 1, 2, …, n) и f(x) непрерывны на некотором отрезке [a;b].
Тогда в области
D = {(x ,y0 ,y1 ,y2 , … , yn–1) | x[a;b] ,  yiℝ}ℝn + 1
для уравнения (8) будут выполняться условия теоремы существования и единственности решения.
Следовательно, x0[a;b] и y0 , y0iℝ существует един- ственное решение уравнения (8), удовлетворяющее условию
y(x0) = y0 , y  (x0) = y01 , y  (x0) = y02 ,  … ,  y(n–1)(x0) = y0n–1 .

уравнение (ЛОДУ) порядка n, т.е. уравнение вида
y(n) + a1(x)  y(n – 1) + … + an – 1(x)  y  +  an(x)  y = 0 . (9)
ТЕОРЕМА 1 (свойство решений

ЛОДУ).
Если y1(x) и y2(x) являются решениями ЛОДУ (9), то
y1(x) + y2(x) и C  y1(x) (Cℝ)
тоже является решениями уравнения (9).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СЛЕДСТВИЕ 2. Если y1 , y2 , … , yn – решения уравнения (9), то их линейная комбинация
C1  y1 + C2  y2 + … + Cn  yn 
тоже является решением уравнения (9) для любых постоянных C1 , C2 , … , Cn .

функций, непрерывных на [a;b].
Имеем: S[a;b]  C[a;b] ,
Из теоремы 1  S[a;b]

– линейное подпространство C[a;b]
ЗАДАЧА. Изучить S[a;b] как линейное пространство.
Пусть y1(x) , y2(x) , … , yn(x)  – (n – 1) раз дифференцируемые на [a;b] функции.
Запишем для них определитель порядка n вида

и называют опреде- лителем Вронского (вронскианом) функций y1 , y2 , … , yn .
ТЕОРЕМА 3 (необходимое

условие линейной зависимости функций).
Если функции y1(x) , y2(x) , … , yn(x) n – 1 раз дифферен- цируемы и линейно зависимы на [a;b], то их определитель Вронского на [a;b] тождественно равен нулю.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие линейной независимости решений ЛОДУ).
Если n решений ЛОДУ (9) линейно независимы на [a;b], то их определитель Вронского W[y1 , y2 , … , yn ] не может обратиться в нуль ни в одной точке этого промежутка.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

(9). Тогда
1) либо W[y1 , y2 , … , yn ] ≡ 0 и это означает, что решения

линейно зависимы;
2) либо не W[y1 , y2 , … , yn ]  0 ,   x[a;b] , и это означает, что решения линейно независимы.
ТЕОРЕМА 5 (о размерности пространства решений ЛОДУ).
Пространство решений S[a;b] ЛОДУ (9) конечномерно и его размерность совпадает с порядком дифференциального уравнения, т.е. dimS[a;b] = n .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Система n линейно независимых решений ЛОДУ n-го порядка (базис пространства S[a;b]) называется его фундамен- тальной системой решений (фср).