Лекция 17. Лучистый теплообмен между твердыми телами Лучистый теплообмен между

образующими замкнутую систему
Т1, А1 и ε1 – температура, поверхность и

степень черноты более нагретого тела, Т2, А2 и ε2 – менее нагретого тела.

Допущение: степень черноты тел не зависит от температуры, а среда между телами абсолютно диатермична (прозрачна). При этом на тело попадать только часть лучистого потока, излучаемого другим телом.

облученности φ.
Для тела 1 φ12 = Q12/Q2 – есть

отношение лучистого потока Q12, попадающего на тело 2, к полному лучистому потоку Q1, излучаемому телом 1.
Для тела 2 φ21 = Q21/Q2 – есть отношение лучистого потока Q21, попадающего на тело 1, к полному лучистому потоку Q2, излучаемому телом 2.

Уравнение для лучистого потока, отдаваемого более нагретым телом менее нагретому телу в системе из двух замкнутых серых тел:

где εпр – приведенная степень черноты замкнутой системы тел

Апр = φ12А1 = φ21А2 – взаимная поверхность замкнутой системы тел.

(1)

(2)

в виде замкнутой оболочки вокруг тела 1 (излучателя), весь лучистый

поток излучателя попадает на тело 2, φ12 =1 (тело 1 не имеет вогнутостей).

Тогда Апр=А1 и φ21=А1/А2. Производя необходимые подстановки в уравнения (1) и (2) получим:

Тело 1 (излучатель) находится в окружающей среде (А2→∞). Тогда εпр = ε1 и из уравнения (3) получим:

Излучение нагретого тела в окружающую среду

(3)

(4)

где Tf и Tw – температура окружающей среды и поверхности тела (излучателя) соответственно.

(5)

которых A+R=1, D=0, а потери лучистой энергии отсутствуют.
В этом случае

Апр = А1 = А2 = А, φ12 = φ21 =1.
Тогда из (1) и (2) получим:

(6)

(7)

активных и обладающих наибольшей кинетической энергией) молекул при их столкновениях

в процессе теплового движения.
В результате таких столкновений может изменяться энергия:
вращательного движения молекул,
колебательного движения атомов (вибрация атомов в молекуле),
изменение орбит электронов и т.д.
Эти изменения энергии сопровождаются лучеиспусканием определенных порций (квантов) энергии.
Справочно: Излучение газов носит объемный характер и характеризуется линейчатым спектром. Это означает, что излучение (поглощение) электромагнитных волн происходит лишь в отдельных участках спектра, соответствующих энергии «разрешенного» (квантового) перехода и зависящих от рода газа.

Лучистый теплообмен в газовых средах

Особенности излучения газов

объема. Тогда плотность потока излучения газа Е можно подсчитать по

уравнению Стефана-Больцмана:
Е=С0 εг(Т/100)4

Особенности излучения газов

Излучаемая газом энергия зависит от толщины газового слоя и концентрации излучающих молекул. Концентрацию молекул можно оценить парциальным давлением газа рi. Так как толщина газового слоя и парциальное давление газа в одинаковой мере влияют на количество излучающих молекул, то степень черноты газа выбирают в зависимости от параметра рlэр, где lэр – средняя длина луча в пределах газового слоя.
Величину lэр можно оценить по соотношению:
lэр = 3,6V/А
где А – поверхность, ограничивающая объем V.

Е=f(T) может отличаться от закона 4-ой степени.
Так, полное излучение СО2

пропорционально ~ Т3,5, а излучение водяного пара пропорционально примерно ~ Т3.

Особенности излучения газов

Для смеси СО2 и Н2О степень черноты определяют по соотношению:

Последний член в этой формуле представляет собой эффект взаимопоглощения в результате частичного совпадения полос излучения и поглощения в спектрах СО2 и Н2О.

Справочно: Для технических расчетов важно излучение газов, входящих в состав продуктов сгорания – СО2, Н2О, СО, пары углеводородов и т.п.

поверхности (стенке) при Tf > Tw определяют по формуле:
Теплообмен между

газом и оболочкой

где Tf и Tw – температура газа и стенки, εw – степень черноты стенки при Т=Tw, εг и εгw – степень черноты газа при Т=Tf и при Т=Tw

Вводя эффективную степень черноты стенки εw, получим:

где

Величину εгw находят по соотношению εгw = εг (Tf / Tw)0,5
При достаточно больших значениях εw приближенно принимают εw=(1+ εw)/2

конвекцией также лучистый теплообмен.
В зависимости от взаимной интенсивности этих процессов

переноса существуют различные виды сложного теплообмена.
Справочно: Наиболее часто имеет место радиационно-конвективный теплообмен, когда радиационный теплообмен протекает одновременно с конвективным.
Плотность потока излучения можно выразить зависимостью, аналогичной уравнению конвективной теплоотдачи:
Е=αл[Tw-Tf]

где αл=εпрσ0[T4w-T4f]/ [Tw-Tf], σ0 =5,67∙10-8 Вт/(м2∙К4)

Суммарная плотность теплового потока: q=(α+αл)(Tw-Tf)
При близких значениях Tw и Tf приближенно:
(T4w-T4f)/(Tw-Tf) = (Tw+Tf)3/2

Замечание: Если температура тел, определяющих радиационный и конвективный теплообмен, неодинакова, то общий тепловой поток находится как сумма отдельно подсчитанных радиационного и конвективного тепловых потоков.

компонента (пара) с поверхности в окружающую среду (воздух). Концентрация пара

у поверхности ρпw, в воздухе – ρп∞, ρпw > ρп∞.
Массовый поток пара направлен от поверхности (по нормали к поверхности).Около поверхности образуется паровоздушная смесь, в которой на любом расстоянии от поверхности сумма относительных концентраций компонента пара gп и среды (воздуха) gв равна единице:
gп + gв =1

Граничные условия при испарении с поверхности имеют вид:
На поверхности y(расстояние от поверхности)=o, gпw = 1, gв =0
Вдали от поверхности y →∞, gп∞ →0, gв →1

Плотность массового потока пара [кг/м2∙с] выражается уравнением:

где ρп=Мп/V – абсолютная концентрация пара в смеси, gп=Мп/М=ρп/ρ – относительная концентрация компонента (пара) в смеси, ρ и Т – плотность и температура смеси.

(8)

gв будет возрастать по мере удаления от поверхности. В результате

возникает массовый поток воздуха, направленный в сторону уменьшения градиента ∂gв /∂y, т.е. к поверхности.
С учетом равенства: gп + gв =1

И из уравнения (8) следует:

(9)

(10)

Стефановский поток. Поток mв направлен к поверхности, которая непроницаема, так что перенос воздуха к поверхности должен отсутствовать. Это приводит к возникновению конвективного потока воздуха, направленного от поверхности и компенсирующего поток mв по уравнению (10), т.е. суммарный перенос воздуха равен нулю.

течения воздуха от поверхности равна:
(12)
Справочно: Конвективный поток воздуха (среды), вызванный

массообменом, называют Стефановским потоком.

Суммарный поток на поверхности. Стефановский поток воздуха, направленный от поверхности, накладывается на массовый поток пара в воздухе m. В результате плотность полного потока пара от поверхности будет представлять сумму молекулярной и конвективной составляющих:

где μп, μв – молярная масса пара, воздуха; rп, rв – объемные доли пара, воздуха; рп, рв – парциальные давления пара, воздуха.

(13)

учитывается различие молярных масс компонентов, что при значительных концентрациях пара,

усложняет решение уравнения (13). Поэтому в практических расчетах (испарение воды в воздух и т.п.) поправкой обычно пренебрегают.

где рпw, рп∞ – парциальные давления пара у поверхности и на расстоянии l от поверхности, Rп – газовая постоянная паров компонента.

(14)

Тогда:

Заменяя градиент относительных концентраций ∂gп/∂у через градиент парциальных давлений ∂рп/∂у, получим:

- Уравнение Стефана

Интегрируя (14) при m=cont, T=const в пределах y=0, рп=рпw, у=l, рп=рп∞, получим:

(15)

то уравнение (15) можно упростить:


(16)
Записывая плотность массового потока пара через

коэффициент конвективной массоотдачи (аналогично коэффициенту конвективной теплоотдачи α), получим:

(17)

где β=D/l, βр=β/RпT – коэффициент массоотдачи, отнесенный к разности парциальных давлений.

Уравнение конвективной массоотдачи, записанное через разность концентраций, имеет вид:

(18)

q=mcрп∙Т, который имеет место и в изотермической среде с Т=const.

В неизотермической среде суммарная плотность теплового потока q есть сумма молекулярной и конвективной составляющих:

Выразим конвективную составляющую mcрп∙Т через скорость Стефановского потока для случая бинарной диффузии:

(19)

Подставляем последнее выражение в (19):

среды а и диффузии компонента в этой среде D равными,

то безразмерные критерии Pr=υ/а и Sc=υ/D будут равны.
Исходя из аналогии процессов переноса теплоты и вещества:

где С, n, m имеют одинаковые значения, получим при равенстве чисел Pr=Sc:

Если Pr ≈1, то v/λ ≈D/λ ≈ρв∙ср

протекающий при любых температурах и, как правило, одновременно с процессом

теплообмена. Поверхность испарения может уменьшаться (например, при испарении капель), что будет оказывать влияние на скорость массообмена.
Взаимодействие потоков теплоты и массы в общем случае будет влиять на их интенсивность при одновременном протекании.

При испарении жидкости с поверхности необходимо различать:
испарение со свободной поверхности жидкости (испарение воды с поверхности водоемов, испарении топлив при транспортировке и т.п.);
испарение тонких пленок и капель жидкости с нагретой поверхности.

При испарении поток паров уносит с поверхности теплоту, необходимую для его образования. В этом случае может иметь место охлаждение поверхности (адиабатическое испарение) и достижение поверхностью некоторой равновесной температуры Тр. Эта температура будет соответствовать равенству тепловых потоков:
подводимого к поверхности от окружающей среды с температурой tв;
уносимого с потоком паров.

конвективной теплоотдачи, q=α(tв-tр) и теплоту, уносимую массовым потоком паров, получим

для плотности тепловых потоков:

где r – скрытая теплота парообразования.

Если концентрация паров компонента мала и можно приближенно предположить ρ ≈ ρв, то:

Справочно: При анализе процессов с влажным воздухом температуры tв и tр называют, соответственно, температурами «сухого» и «мокрого» термометров.

механическую смесь сухого воздуха и паров воды.
Процессы с влажным

воздухом рассчитывают:
по уравнениям состояния идеальных газов (вследствие малых парциальных давлений пары воды считают идеальным газом)
в условиях термодинамического равновесия (температура паров воды, сухого воздуха, влажного воздуха принимается одинаковой).

Уравнение состояния сухого воздуха:

Уравнение состояния паров воды:

Здесь:

где Мп, Мв, Мвл – масса паров воды, сухого воздуха, влажного воздуха; V - объем влажного воздуха; ρп, ρв – абсолютная влажность (плотность) паров воды, плотность воздуха; μп, μв – молярные массы воды, воздуха

т.к. состояние влажного воздуха определяется соотношением парциального давления паров воды

рп и давлением насыщенных паров воды рs при температуре влажного воздуха.
Давление насыщенных паров жидкости рs определяется по уравнению Клапейрона-Клазиуса.
Состояние насыщения (кипения жидкости) наступает, если при данной температуре давление насыщенных паров рs равно давлению окружающей среды р.
В неограниченном объеме р= рв;
В замкнутом объеме р= рп+рв

Давление насыщенных паров воды в интервале 20о…100оС можно определить по эмпирической зависимости:

(20)

следующие состояния влажного воздуха:
Ненасыщенный влажный воздух. Парциальное давление паров воды

рп меньше давления насыщения рs при данной температуре, рп < рs (т.1 на рисунке).

Состояние влажного воздуха.
К – критическая точка;

Температура паров воды (влажного воздуха) больше температуры насыщения (кипения) воды при данном давлении, tв > ts .
Пары находятся в перегретом состоянии относительно температуры насыщения.

давлению насыщения при данной температуре воздуха, рп =рs (т.2 на

рисунке).

Температура влажного воздуха равна температуре насыщения воды при данном давлении, tв = ts .

Пересыщенный влажный воздух. Парциальное давление паров воды рп больше давления насыщения рs при данной температуре, рп >рs (т.3 на рисунке).

Температура влажного воздуха меньше температуры насыщения воды при давлении рп, tв < ts . Происходит конденсация части паров, процесс 3-3’ или пары (при отсутствии центров конденсации) остаются в термодинамически неустойчивом (перенасыщенном) состоянии

кг сухого воздуха.
Абсолютная влажность рп – количество паров воды в

1 м3 влажного воздуха.
Относительная влажность φ – отношение парциального давления паров воды рп к давлению насыщенных паров воды рs при температуре воздуха tв : φ = рп /рs
Удельное влагосодержание d – есть количество паров воды на 1 кг сухого воздуха

Молярное влагосодержание dμ – отношение количества киломолей водяного пара Nп к количеству киломолей сухого воздуха Nв.

(21)

Плотность влажного воздуха ρвп=ρп+ρв . Выражая ρп и ρв через

их парциальные давления, получим:

Кажущаяся молярная масса μвп и газовая постоянная Rвп влажного воздуха.

Газовая постоянная:

температурах и теплоемкости воздуха срв= 1 кДж/(кг∙К) равна:
Удельная энтальпия

водяного пара hп, кДж/кг. При температуре влажного воздуха tв равна:

где rо – скрытая теплота парообразования воды при t=0оС; срп – теплоемкость паров воды. Обычно принимается rо = 2501 кДж/кг, срп =1,97 кДж/(кг∙К)

Для зависимости скрытой теплоты парообразования воды r, кДж/кг, от температуры t используется эмпирическое соотношение:

(22)

на 1 кг сухого воздуха и равна сумме энтальпии 1

кг сухого воздуха hв и энтальпии d кг водяного пара hпd

Энтальпия пересыщенного влажного воздуха (d>ds) с каплями воды (туманом)

Энтальпия насыщенного влажного воздуха (d=ds)

Энтальпия пересыщенного влажного воздуха (d>ds) с кристаллами льда

Энтальпия льда

(23)

(24)

(25)

удельном влагосодержании d=const и постоянном давлении p. Так как с

увеличением температуры воздуха tв растет давление насыщенных паров ps, то относительная влажность воздуха φ=рп/рs уменьшается (Рис. а).

Охлаждение влажного воздуха при постоянном давлении (pп=const) и постоянном удельном влагосодержании d=const; при понижении температуры воздуха уменьшается давление насыщенных паров ps и увеличивается относительная влажность воздуха (Рис. б). При достижении температуры точки росы (т. 2’), когда давление ps станет равным pп, относительная влажность будет равна φ=100%. Дальнейшее уменьшение температуры будет происходить при условии φ=100%=const с конденсацией паров воды, т.3 (или приведет к термодинамически неустойчивому состоянию пересыщенного влажного воздуха, т.4)

а)

б)

В ограниченный объем V влажного воздуха температурой tв1, парциальным давлением

паров рп1 и влагосодержанием d1 подается Мж воды при температуре tж с энтальпией hж. В результате полного парообразования воды влажный воздух характеризуется температурой tв2, парциальным давлением паров рп2 и удельным влагосодержанием d2.
В идеальном случае энтальпия воздуха, затраченная на испарение воды, полностью возвращается с парами воды в воздух, поэтому процесс можно рассматривать при условии
hвп1 + hж = hвп2 = const.
При расчетах может быть задано количество воды Мж или конечное удельное влагосодержание d2.
В последнем случае принимают hж =0, hвп1 = hвп2 = const.
В общем случае:

(26)

= hвп2 получаем:
Уменьшение влажности воздуха (сушка) может происходить

за счет следующих термодинамических процессов:
охлаждение ненасыщенного влажного воздуха в ограниченном объеме V с температурой tв1, с d1 < d2, при d1 = const до температуры точки росы tт.р., процесс 1-2;
охлаждение насыщенного влажного воздуха до tв2 < tт.р. С выпадением конденсата и уменьшением влажности до d2 < d1 и удалением конденсата Мж, процесс 2-3;
нагревание воздуха с температурой tв2 при d2 = const до заданной температуры tв3, процесс 3-4.

(27)

ненасыщенный влажный воздух с заданной температурой tв1 и d2

d1.
Баланс энтальпий можно записать в виде (если tв3 ≠tв1 ):
hвп1 - hж = hвп3.
В общем случае указанные процессы описывают уравнениями:

при tв1 =tв3 =const

(28)

(29)

(30)

имеющих различные температуры tв1 и tв2 и влагосодержания d1 и

d2. уравнения баланса энтальпий и масс приведены в таблице (параметры влажного воздуха после смешения приведены без индексов).

представляет собой диффузию паров вещества капли с ее поверхности в

окружающую среду. Плотность массового потока пара может быть подсчитана по уравнению:

Скорость испарения капли (изменение массы пара в единицу времени):

где ρ - абсолютная концентрация пара.

На поверхности капли (R=R0) концентрация пара ρs соответствует условиям насыщения при температуре поверхности, а в окружающей среде (R→∞) концентрация пара ρ∞ (в частном случае ρ∞ =0). Интегрируя уравнение (31) в указанных пределах, для стационарного испарения (при G=const):

(31)

Скорость испарения капли прямо пропорциональна радиусу капли, коэффициенту диффузии паров и перепаду концентраций.

(32)

происходит уменьшение ее радиуса, скорость испарения является переменной величиной (уменьшается

в процессе испарения). Поэтому при строгом подходе испарение капли надо рассматривать как нестационарное.

Замечание: Если плотность жидкости значительно больше концентрации пара у поверхности капли, то можно испарение считать квазистационарным, т.е. в каждый момент времени подчиняющимся уравнению (32).

Поэтому для произвольного момента времени уравнение (32) можно записать через текущий радиус капли R:

(33)

Скорость испарения капли представляет собой скорость убывания ее массы во времени:

где ρж – плотность вещества капли.

ρs =const (испарение капли при постоянной температуре поверхности) и ρ∞

=const:

(34)

где KV – константа испарения, которая при данных допущениях не меняется в процессе испарения, м2/с.

Из уравнения (35) следует, что при испарении неподвижной капли ее поверхность меняется во времени линейно (закон Срезневского). Время испарения капли при R=0:

(35)

до ρ∞ в окружающей среде (Рис. а):
где ρ –

концентрация паров на радиусе R.
При учете Стефановского потока константу испарения в уравнении (34) считают по соотношению:

(36)

(37)

где поправка р/р* равна:

Чем больше величина рs/р, тем больше р/р* и соответственно скорость испарения. При малых значениях рs/р, р/р* →1.

(38)

испарении поверхность капли имеет равновесную температуру Тр, которая является температурой

«мокрого» термометра. При температуре Тр имеет место равенство тепловых потоков, выражаемое уравнением:

Принимая для неподвижной капли α=λf/R, константу испарения можно получить в виде:

(39)

В случае значительного перепада температур (Тв – Тр) и интенсивного испарения массовый поток пара G через скорость стефановского течения среды G/(Аρв) будет оказывать влияние на тепловой поток к капле (т.к. поток теплоты и поток паров имеют встречные направления).

уравнению (39) вводят поправку:
(40)
где
(41)
Поправка Ф учитывает влияние испарения на

теплообмен. Если изменение энтальпии пара ср,п(Тв – Тр) мало по сравнению со скрытой теплотой парообразования r, то Ф → 1. С ростом отношения ср,п(Тв – Тр)/r величина Ф уменьшается.

описывается уравнением (Рис. б):
С увеличением температуры среды температура Тр

также повышается, асимптотически приближаясь температуре кипения при данном давлении. Температура Тр практически не зависит от относительной скорости и диаметра капли, так как с изменением этих величин тепловой и массовый потоки меняются в одинаковой мере.

(42)

С увеличением давления насыщенных паров диффузионный поток вещества от поверхности растет, вследствие чего разность температур (Тв – Тр) возрастает, а температура стационарного испарения уменьшается.

(35), (39) рекомендуется: теплоту парообразования r, давление насыщенного пара ps

брать при температуре поверхности Тр; коэффициенты диффузии D, температуропроводности а, кинематической вязкости υ, теплоемкости паров ср,п – при температуре (Тв + Тр)/2; коэффициент теплопроводности среды λf – при температуре среды Тв.

Если капля лежит на плоской стенке и имеет форму полушария, то поля концентрации и температуры пара около ее поверхности не меняются (т.к. не нарушается сферическая симметрия), а в уравнение для скорости испарения надо ввести множитель 0,5.
Исследования равновесного режима испарения несферических капель показали, что квадрат диаметра равнообъемной сферы меняется линейно во времени, что позволяет использовать закон Срезневского и для несферических капель.

место два режима испарения капель:
Когда скорость обтекания капли постоянна и

в процессе испарения меняются только размеры капли.
Испарение летящей капли, когда одновременно меняются и размеры, и скорость движения капли.

Обдуваемая капля. В этом случае достаточно в выражения для скорости и константы испарения ввести поправки, учитывающие увеличение коэффициентов тепломассообмена.
Используя уравнения для скорости испарения с поправками на влияние Стефановского потока и взаимное влияние тепломассообмена, получается:

(43)

(44)

При описании процессов массообмена обычно в первом приближении принимают равенство теплового и диффузионного чисел Нуссельта, NuM=Nu

капли меняются одновременно ее размеры и скорость, а кроме того,

форма и условия испарения по поверхности капли.
При расчете необходимо учитывать силы аэродинамического сопротивления и тяжести и реактивную силу, возникающую при оттоке паров.
Если капля совершает криволинейное движение, то необходимо учитывать массовые силы. Приближенное выражение испарения капли имеет вид:

(45)

где ; w0 – начальная скорость капли;
NuM0 – диффузионное число Нуссельта, подсчитанное по w0; сf – коэффициент сопротивления движению капли.