Лекция 6 Энергия и Момент Импульса ( Energy and Angular Momentum

МИФИ, к.ф.-м.н.,
Ольчак Андрей Станиславович(
Общая Физика

внутренняя сила
- внешняя сила
Если на систему

не действуют внешние силы, или ими можно пренебречь, или их действие скомпенсировано - такая система называется замкнутой.

Зако́ны сохране́ния — фундаментальные физические законы, согласно которым при определённых условиях некоторые измеримые физические величины, характеризующие замкнутую физическую систему, не изменяются с течением времени.

импульса а каждой паре равно нулю => суммарный импульс всей

системы сохраняется:

Pсист = P1 + P2 + P3 + … = Σ Pi = Const

Закон сохранения импульса для замкнутой системы частиц

dPсист / dt = Σ Fi = Fвнеш = Mdvc /dt = Md2rc /dt2

Движение составного объекта допустимо рассматривать, не вникая в его внутреннюю структуру и не учитывая взаимодействие его частей!

rс = Σ miri /M – радиус-вектор центра масс системы

точки 1 до точки 2
Мгновенная мощность силы

Определение работы по известной

зависимости мощности от времени
Средняя мощность силы

Дадим определения: Работа. Мощность.

представить в виде:



Величину T = mV2/2 называют кинетической энергией

материальной точки. Элементарная работа суммарной силы, действующей на материальную точку, идет на приращение ее кинетической энергии. И наоборот: за счет потери кинетической энергии тело может совершить механическую работу

Энергия = мера способности тела произвести работу..

формы траектории, а только от начального и конечного положений частицы.

Для консервативных сил можно ввести понятие потенциальной энергии, зависящей исключительно от координат точки в поле консервативной силы.

Работа консервативной силы равна разности потенциальных энергий объекта в начальной и конечной точках траектории: А12 = U1 - U2
В частности, для 2-х близких точек:
dА12 = U(r) - U (r+dr) = -(dr,dU/dr) =
= -dx(дU/дх)- dy(дU/дy)- dz(дU/дz)

Физический смысл имеет именно разность значений потенциальной энергии между разными точками. Абсолютное значение потенциальной энергии можно отсчитывать от любого уровня, какой удобен

Консервативные и неконсервативные силы.

,

….. и может пойти на приращение кинетической энергии точки
dAcons = dT = - dU
=> Сумма потенциальной и кинетической энергии точки, движущейся в консервативном поле сил, остается неизменной U + T = Const

Потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле.

от формы траектории.
v
Fтр
Сила трения направлена против скорости движения материальной точки.

Элементарная работа силы трения равна.

dA = (F, dr) = -Fds,
где ds - элемент пройденного пути.

Работа силы трения на пути между точками 1 и 2 (и туда и обратно) равна.

A12 = - Fds,
.

1

2

Работа силы трения всегда отрицательна.

v

Fтр

стационарном поле консервативных сил: Е = T +U = Const
3.Тело

движется в потенциальном, стационарном поле сил и на нее действует сила трения – уравнение баланса энергии
Е1 (=U1+T1 ) = Е2 (=U2+T2) + А(против трения)
4. Замкнутая система взаимодействующих материальных точек, в которой нет НЕ консервативных сил.

Закон сохранения энергии Некоторые частные случаи

Е.М. «Механика», гл.2

момента импульса

импульс частицы:
Длина перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую, вдоль

которой направлен импульс частицы называется плечом импульса относительно точки О

Момент импульса. Плечо импульса

импульса частицы может изменяться только по модулю. Модуль момента импульса

равен M = mvl, причем плечо l остается неизменным.

Момент импульса. Плечо импульса
ПРИМЕРЫ

Если на частицу не действуют силы – ее момент импульса не меняется ни по величине, ни по направлению:
M = [r, p]

Модуль момента импульса относительно точки O равен M = pr·sin90°

= mvr. Вектор M перпендикулярен плоскости окружности, причем направление движения частицы и вектор M образуют правовинтовую систему. Плечо l = r = const и момент импульса может изменяться только за счет модуля скорости.

Момент импульса. Плечо импульса
ПРИМЕРЫ

Когда частица движется в центральном поле сил, ее момент импульса не меняется ни по величине, ни по направлению:
M = [r, p].

из которой проведен радиус-вектор r точки приложения силы называется псевдовектор:
1.

Вектор N перпендикулярен векторам r и F, и образует с ними правую тройку.
2. Модуль момента силы можно представить в виде N = r F·sinα =l·F,
где l= r·sinα – плечо силы относительно точки O (длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила)
3. Точку приложения силы (в случае твердого тела) можно сдвигать вдоль линии действия силы: ни l ни N при этом не изменятся. Но величина и направление N зависят от выбора точки О

направленные силы, не действующие вдоль одной прямой. Расстояние между прямыми,

вдоль которых действуют силы= плечо пары Суммарный момент сил, образующих пару, равен:

Момент пары сил не зависит от точки отсчета O. Вектор момента пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы и численно равен произведению модуля любой из сил на плечо.

l = вектор, проведенный из точки приложения силы F1 в точку приложения силы F2

частицы относительно некоторой точки равна моменту силы относительно той же

точки.

векторная сумма моментов импульса всех частиц, входящих в систему:
Для каждой

частицы:

Первое слагаемое – момент внешних сил, действующих на i-ую частицу, а второе – сумма моментов внутренних сил. Суммируя по всем частицам, получаем:

в правой части уравнения обращается в нуль, т.к. содержит парные

слагаемые вида:

Скорость изменения момента импульса системы равна суммарному моменту внешних сил, днйствующих на систему:

импульса системы равна результирующему моменту внешних сил.
Пример: падение подпиленного

столба

В точке опоры O действует неизвестная и, к тому же, меняющаяся со временем сила реакции N . Но момент этой силы относительно точки опоры равен нулю, и в уравнение моментов войдет только момент известной силы тяжести:

При отсутствии внешних сил

Для замкнутой системы M постоянен

M постоянен
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных

точек остается постоянным.
Момент импульса остается постоянным и для незамкнутой системы при условии, что суммарный момент внешних сил равен нулю.

частицу в любой точке направлены на центр поля, а модуль

силы зависит только от расстояния до этого центра.

Момент импульса частицы относительно центра (т. 0) будет сохраняться

При движении частицы в центральном поле сил ее радиус-вектор остается все время в одной плоскости. В этой же плоскости лежит все время вектор p. Траектория частицы представляет собой плоскую кривую.

Момент перпендикулярен к плоскости, образованной r и p
M = const => плоскость движения фиксирована

поле сил.
ПРИМЕР

поле сил.
ПРИМЕР
Траектория частицы = коническое сечение, т.е. либо эллипс, либо

параболу, либо гиперболу.

α > 0 (отталкивание): Гипербола. При Mz= 0 вырождается в прямую
α < 0 (притяжение): Эллипс при E < 0, гипербола при E > 0, парабола при E = 0

чтобы оно стало спутником планеты. С этой скоростью оно будет

двигаться по круговой орбите радиуса r.

спутнику, чтобы он двигался по параболической траектории, т.е. ушел из

сферы притяжения планеты. Ее можно найти из условия:

Е.М. «Механика», гл.2

импульса системы равна результирующему моменту внешних сил.
Пример: падение подпиленного

столба

В точке опоры O действует неизвестная и, к тому же, меняющаяся со временем сила реакции N . Но момент этой силы относительно точки опоры равен нулю, и в уравнение моментов войдет только момент известной силы тяжести:

При отсутствии внешних сил

Для замкнутой системы M постоянен