Разделы презентаций


Лекция №7 по курсу Машинная арифметика в рациональных числах Москва, 2020 презентация, доклад

Содержание

Устранение причины возможной ошибкиЗадача.Составить программу решения квадратного уравненияa2 + bx + c = 0Формулы корней квадратного уравнения достаточно сложны по числу и набору действий:Поэтому естественно предположить, что при решении поставленной задачи

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Лекция №7
по курсу «Машинная арифметика в рациональных числах»
Москва, 2020

Лекция №7 по курсу  «Машинная арифметика в рациональных числах»Москва, 2020

Слайд 2Устранение причины возможной ошибки
Задача.
Составить программу решения квадратного уравнения
a2 + bx

+ c = 0
Формулы корней квадратного уравнения достаточно сложны по

числу и набору действий:

Поэтому естественно предположить, что при решении поставленной задачи возможна ситуация, при которой произойдет потеря точности.

Устранение причины возможной ошибкиЗадача.Составить программу решения квадратного уравненияa2 + bx + c = 0Формулы корней квадратного уравнения

Слайд 3Из анализа формул корней, видно, что в одной из формул

в числителе обязательно будет разность чисел.
Пусть b>0, тогда при ac

числа b и близки и формула для x2 может привести к грубой ошибке.

Здесь можно полностью устранить причину возможной ошибки за счет тождественного преобразования для х2

Получили другую формулу для одного из корней квадратного уравнения

Эта формула уже не содержит вычитания близких чисел, тем самым устранена причина возможной грубой ошибки.

Из анализа формул корней, видно, что в одной из формул в числителе обязательно будет разность чисел.Пусть b>0,

Слайд 4Если b

х1. Соответствующими преобразованиями можно и ее привести к виду:
Очевидно, что

новые формулы для корней квадратного уравнения пригодны и для «нормальных случаев», когда разность близких чисел не возникает. Т.о. проводить анализ близости соответствующих чисел нет необходимости. Достаточно, определив знак b, выбрать для вычисления каждого корня ту формулу, в которой разности чисел нет.
Если b

Слайд 5Примеры вычислительно неустойчивых алгоритмов
Рассмотрим задачу вычисления функции ex . Известно,

что эта задача хорошо обусловлена.

при x

x= -15.
Верное значение e-15 =1 / e15  0.000000305902

1. Традиционные вычисления
После выполнения 82 итераций было получено: e-15  0.000000256502
Относительная погрешность
составила 19,2%.

2. Решение
e-x = 1/ ex

Примеры вычислительно неустойчивых алгоритмовРассмотрим задачу вычисления функции ex . Известно, что эта задача хорошо обусловлена.при x

Слайд 6Применение высокоточных вычислений для численного решения уравнения теплопроводности с разномасштабными

коэффициентами
Нестационарное уравнение теплопроводности:
.
Уравнение теплопроводности описывает распространение тепла вдоль стенок труб


теплообменных устройств, поверхностей нагрева котлов, и других объектов.

- коэффициент температуропроводности

При

максимальная относительная погрешность решения

системы методом Гаусса-Зейделя составила около 100% при числе итераций порядка 5000.
Физическая интерпретация этих параметров может быть такой: ищется распределение температуры магистрального трубопровода длиной 1 км через каждые 1 метр, каждые 3 часа.
Применение высокоточных вычислений позволило получить решение системы с требуемой точностью

Система конечно-разностных линейных уравнений:

Применение высокоточных вычислений для численного решения уравнения теплопроводности с разномасштабными коэффициентамиНестационарное уравнение теплопроводности:.Уравнение теплопроводности описывает распространение тепла

Слайд 7Подход к решению проблемы высокоточных вычислений на основе модулярной арифметики

К настоящему времени модулярная арифметика

использовалась как средство повышения быстродействия в криптографии, нейронных сетях, цифровой обработке сигналов и др.
Проведенные исследования показали качественно новые возможности применения модулярной арифметики в повышении точности вычислений и ослаблении зависимости времени вычислений от точности, для некоторых частных задач:
решение дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта,
нахождение скалярного произведения векторов,
решения систем линейных уравнений методами Гаусса-Зейделя,
релаксации,
дискретном преобразовании Фурье .
Подход к решению проблемы высокоточных вычислений на основе модулярной арифметики      К настоящему

Слайд 8Схема вычислений с исключением ошибок округления
Рост числителей и знаменателей!

Схема вычислений с исключением ошибок округленияРост числителей и знаменателей!

Слайд 9ВОЗМОЖНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ИСКЛЮЧЕНИЕМ ОШИБОК ОКРУГЛЕНИЯ
1. Точное вычисление обобщенных

обратных матриц. Например, таких как, g-обратная матрица Мура-Пенроуза. Многие

алгоритмы требуют умения распознавать значение численного ранга, а это является трудной задачей при наличии ошибок округления.
2. Целочисленное решение систем линейных уравнений. Примером могут служить построение оптимальных решений в задачах целочисленного программирования.
3. Точное вычисление характеристического многочлена матрицы. Вследствие ошибок округления будут получены приближенные значения коэффициентов. Если многочлен плохо обусловлен, то корни "приближенного» характеристического уравнения могут быть плохими приближениями к корням истинного уравнения.
4. Обращение матриц Гильберта, Адамара и др. особо чувствительных к ошибкам округления.
5. Для решения промежуточных между классами корректных и некорректных задач.
Класс задач, изменяющих корректность при решении. Это расчет устойчивости систем управления, выч. собств. знач. систем лин. одн. урав. и др.

ВОЗМОЖНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ИСКЛЮЧЕНИЕМ ОШИБОК ОКРУГЛЕНИЯ1. Точное вычисление обобщенных обратных матриц.   Например, таких как,

Слайд 10Схема вычислений с исключением ошибок округления

Схема вычислений с исключением ошибок округления

Слайд 11Высокоточные вычисления с иррациональными числами
Модулярная система счисления позволяет представлять:

- целые

числа,
рациональные числа
комплексные числа с рациональной мнимой и вещественной

частью

Иррациональные числа представлять в виде цепных дробей.

Точное значение 10/7 это [1,2,3].
Приближенное значение [1,2]

Вычисления с иррациональными числами с контролируемой точностью.

Высокоточные вычисления с иррациональными числамиМодулярная система счисления позволяет представлять:- целые числа, рациональные числа комплексные числа с рациональной

Слайд 12Способы нахождения обратного по модулю
Подбор
С помощью малой теоремы Ферма
С помощью

расширенного алгоритма Евклида

Способы нахождения обратного по модулюПодборС помощью малой теоремы ФермаС помощью расширенного алгоритма Евклида

Слайд 14Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида

Слайд 17Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида

Слайд 20Алгоритм нахождения обратного

Алгоритм нахождения обратного

Слайд 21Алгоритм обратного преобразования чисел в дроби Фарея

Алгоритм обратного преобразования чисел в дроби Фарея

Слайд 22Алгоритм обратного преобразования чисел в дроби Фарея

Алгоритм обратного преобразования чисел в дроби Фарея

Слайд 23Преимущество модулярной арифметики - отсутствие переносов при сложении, вычитании и умножении

чисел - единое представление чисел различной природы (целых, комплексных)
Задачи на модулярную

арифметику Найти последние 2 цифры числа 4^30.
Преимущество модулярной арифметики  - отсутствие переносов при сложении, вычитании и умножении чисел - единое представление чисел

Слайд 24Табличная реализация модулярная арифметики
Таблица умножения по модулю m = 11

Табличная реализация модулярная арифметикиТаблица умножения по модулю m = 11

Слайд 25Китайская теорема об остатках и обратное преобразование
Китайская теорема об остатках

– существует только одно число, имеющее остатки по модулям в

диапазоне до произведения модулей минус один
Китайская теорема об остатках и обратное преобразованиеКитайская теорема об остатках – существует только одно число, имеющее остатки

Слайд 26Формат с плавающей точкой

Формат с плавающей точкой

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика