Линейная алгебра

Корпорейшн,2008.

линейных отображений и т.д.). Результаты линейной алгебры, теории матриц необходимы

приложимости. Для менеджеров и экономистов это путь к линейному программированию.

явления обладают свойствами аддитивности и однородности. Аддитивность в математическом смысле

х+х приводит к эффекту α+α, т.е. в общем случае kx

линейность

аддитивность

однородность

линейные задачи всегда решаются (в том смысле, что не может

длина (модуль). Модуль вектора по определению равен (обобщенная теорема Пифагора)

стрелкой. На множеств векторов вводится операция сложения и умножения на

базисе ниже) из трех (единичных) векторов






В этом случае вектор

рассматривать как эквивалентные. Говорят, что вектор х разложим по векторам

если существуют коэффициенты {kn} не все равные нулю, что

мере один из них линейно выражается через остальные. Подмножество векторов,

и (2; -8) линейно зависимы, т.к. их линейная( одна из

n-мерного векторного пространства V, порождающих это пространство, называется его базисом.

у вектора лишь одна компонента равна единице, а остальные равны

два вектора

и ϕ обозначает угол между этими векторами. Тогда

b или 〈 a, b 〉. Скалярное произведение векторов является

скалярное произведение равно нулю a⋅ b = 0. Скалярное произведение

d), тогда синус угла между ними может быть вычислен по

и q(c, d). Тогда площадь S параллелограмма равна Δ.
В

любой строке прибавить строку. Воспользуемся этим для преобразования определителя к

нулю(!).Третий столбец пропорционален первому.

Для удобства вычислений и обращения с ними, матрицы записываются в

у которой все элементы – нули. Квадратная матрица размера n

уравнений с n неизвестными:

уравнение системы в тождество.
Система, имеющая решение, называется совместной.
Если система имеет

называется квадратной.
Преобразование, переводящее систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется

всех уравнений),
умножение/деление обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное

характеристика - ранг не будет меняться. Сама матрица при этом

прямоугольную таблицу, состоящую из p строк и q столбцов, которую

которые занумерованы
определенным порядком (матрицу часто изображают жирным шрифтом)

номер строки, а второй – номер столбца, в которых стоит

а матрица (3)–расширенной матрицей для исходной системы уравнений.
Для того, чтобы

p × q называются равными, если в них все элементы

символом «плюс» + и также, по аналогии с векторами, вводится

матрицы A на число α все элементы матрицы A, умножаются

матриц вводится операция умножения одной матрицы на другую. Умножению матриц

умножить на матрицу B ( C = A × B),

строки первой матрицы- сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца второй

y11

эти произведения могут быть не равны. Это означает, что умножение

выполнима, то выполняется условие дистрибутивности:
(А+В)С=АС+ВС
Общие правила алгебраических действий для матриц:
1)

+ B) + C = A + (B + C);

4)

решения системы линейных алгебраических уравнений путем последовательного исключения неизвестных и

линейных уравнений с двумя неизвестными, которая имеет вид: 
 
 


где 

быть найдено основными  методами подстановки и сложения или же Крамера.

1.

= ( f – by ) / a                  

элементарное преобразование), например

точки зрения линейной алгебры этот метод соответствует разложению матрицы коэффициентов

число уравнений совпадает с числом неизвестных (например, линейная модель экономики

могут представлять линейную комбинацию других.
В этом случае желательно найти достаточное

систему линейных уравнений, например:

находим ведущий элемент (стрелка);
2. Проводим с помощью элементарных преобразований исключение

двум (не равен нулю). Мы используем первое уравнение для исключения

х1 просто вычитаем модифицированное первое уравнение из третьего и получаем:

уравнении. Для этого мы можем второе уравнение умножить на пять

первые два уравнения, находим остальные неизвестные

метод (Гаусса-Жордана) предполагает, что первый (и второй) шаг являются таким

система несовместна.
Метод Жордана-Гаусса
Решить систему уравнений:

шагов (ведущий элемент отмечаем штрихом). Из первой и третьей строк

х1 =-2; х2 =2;
х3 =1.

например:

коэффициентом a11 (ведущий элемент) и убедиться, что он отличен от

x1 во втором уравнении системы: для этого вычтем из второго

без изменения, поскольку элемент a22 не равен нулю (=10);

третьей; мы можем так поступать.
3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной

матрицу преобразуем так:
1) первые три строки оставим без изменения, так как

Подставив это значение в третье уравнение, получим x3 = 3.

матрицу, которую получили преобразованием (Гаусса). Но может быть это случайно?

транспонирования обозначается звездочкой или индексом Т.

⋅ а -1=1.
Пусть A – квадратная матрица. Обратной матрицей

чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она

матрица А не вырождена) обратная матрица получается из исходной заменой

к строкам единичной матрицы применить те преобразования, которые приводят матрицу

ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Основные понятия.
Часто в математике желательно охарактеризовать объект, определяемый многими

число, называемое определителем или детерминантом (det), вычисляемое на основе значений

А. Число всех членов определителя n -го порядка равно n!.

и только тогда, когда строки (столбцы) матрицы линейно зависимы. Такая

не меняется, если к какой-либо строке матрицы прибавить любую линейную

одном из них содержит элемент bij, а в другом -

систему решаем с помощью определителей. Для этого нам нужно найти

из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых

и в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали








берутся

видим, что полученный определитель равен алгебраической сумме всевозможных произведений его

по аналогии с предыдущим получим:

Δ⋅x1 = Δ1; Δ⋅x2 = Δ2; Δ⋅x3 = Δ3, (7)

заменен на столбец свободных членов. В определителе Δ2 второй столбец

единственным образом (формулы Крамера):

ОТВЕТ

называется рангом матрицы. Ранг матрицы обозначается rank(A) или r(А). Ранг

равен рангу расширенной матрицы.