Линейная независимость

пространства V, тогда ∀ v ∈ V,
span S =

Доказательство ⇒ (необходимость) :
v∈ span( S ∪ {v} ), тогда из того, что span S = span( S ∪ {v} ) → v∈ span S

Доказателство ⇐ (достаточность) :

v∈ span S →

→

QED

если ни один из его элементов не является линейной комбинацией

⇒ :
Если S есть ЛЗ система, то можно записать
∀ j.
Тогда,
выполняется

Доказательство ⇐ (от противного) :

Если S не является ЛН, то ∃ j так что

т.е.

выполняется для cj = −1 ≠ 0.

Рассуждая обратно, заканчиваем доказательство. QED

являются ЛН.
Доказательство:
Пусть
→
→
→
→
{ (40 15), (20 7.5) } есть

Доказательство:

Пусть

→

→

→

содержащее 0, является ЛЗ.
Доказательство:
Теорема 1.8:
Любое конечное подмножество S векторного пространства

Доказательство:
Если S ЛН, то берем U = S и все доказано.
Если S ЛЗ, то ∃ sk так что sk = Σj≠k cj sj .
Из леммы 1.1, span S1 = span S, где S1 = S \ {sk} .
Если S1 ЛН, то все доказано.
В противном случае, повторяем процедуру изъятия элементов, пока не достигнем ЛН. QED.

∀ a ∈ F

множества также является ЛЗ.
Доказательство: Очевидно.

тогда ∀ v ∈ V & v ∉ S, S

Доказательство ⇐ :
По определению, v ∈ span S & v ∉ S ⇒ S ∪ {v} есть ЛЗ

Доказательство ⇒ :
S есть ЛН ⇒ ни один sk не является линейной комбинацией других sj –х.
S ∪ {v} есть ЛЗ ⇒ v обязан быть линейной комбинацией sj-х. QED

Следствие 1.11:
Подмножество S = {sk | k = 1,…,n } ЛЗ т.и т.т.к

для некоторого j ≤ n

Доказательство: По построению.

Лемма 1.12: Пусть S – ЛН подмножество векторного пространства V , тогда ∀ v ∈ V & v ∉ S,
S ∪ {v} ЛН т.и т.т.к. v ∉ span S.