Разделы презентаций

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Содержание

 1. Линейные пространстваРассматриваемые вопросы:1.1. Понятие линейного пространства1.2. Линейная независимость векторов1.3. Базис линейного пространства1.4. Примеры базисов линейных пространств© Веденяпин Е.Н. 2013

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1© Веденяпин Е.Н. 2013
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Проф.
ВЕДЕНЯПИН
Евгений Николаевич
Евразийский открытый институт
Кафедра естественнонаучных, математических

и общетехнических дисциплин

© Веденяпин Е.Н. 2013ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАПроф.ВЕДЕНЯПИНЕвгений НиколаевичЕвразийский открытый институтКафедра естественнонаучных, математических и общетехнических дисциплин

Слайд 2 1. Линейные пространства
Рассматриваемые вопросы:

1.1. Понятие линейного пространства
1.2. Линейная независимость векторов
1.3. Базис

линейного пространства
1.4. Примеры базисов линейных пространств
© Веденяпин Е.Н. 2013

 1. Линейные пространстваРассматриваемые вопросы:1.1. Понятие линейного пространства1.2. Линейная независимость векторов1.3. Базис линейного пространства1.4. Примеры базисов линейных пространств© Веденяпин

Слайд 31.1. Понятие линейного пространства  
1.1.1. Определение линейного пространства

Множество L элементов

любой природы


называется линейным (векторным) пространством, если для элементов этого

пространства определены операции сложения и умножения на число.

© Веденяпин Е.Н. 2013

1.1. Понятие линейного пространства  1.1.1. Определение линейного пространстваМножество L элементов любой природы называется линейным (векторным) пространством, если

Слайд 4© Веденяпин Е.Н. 2013
Определение сложения и умножения на число
Сложение

Любой паре

элементов , ставится в

однозначное соответствие элемент , называемый суммой и обозначаемый


Умножение на число

Каждому элементу этого пространства и любому числу  ставится в однозначное соответствие элемент , называемый произведением элемента на число и обозначаемый
© Веденяпин Е.Н. 2013Определение сложения и умножения на числоСложениеЛюбой паре элементов

Слайд 5© Веденяпин Е.Н. 2013
1.1.2. Аксиомы сложения и умножения на число
Коммутативность

сложения


Ассоциативность сложения


Существование нейтрального элемента (нуля) относительно сложения


Существование противоположного элемента

© Веденяпин Е.Н. 20131.1.2. Аксиомы сложения и умножения на числоКоммутативность сложенияАссоциативность сложенияСуществование нейтрального элемента (нуля) относительно сложенияСуществование

Слайд 6© Веденяпин Е.Н. 2013
Аксиомы сложения и умножения на число (окончание)
Ассоциативность умножения

на число


Дистрибутивность умножения вектора относительно сложения скаляров


Существование нейтрального элемента (единицы)

относительно умножения


Дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов
© Веденяпин Е.Н. 2013Аксиомы сложения и умножения на число (окончание)Ассоциативность умножения на числоДистрибутивность умножения вектора относительно сложения

Слайд 7© Веденяпин Е.Н. 2013
Замечания
Элементы линейного пространства называются векторами.

Если в пространстве

L определено умножение его элементов на вещественные числа, то L

называется вещественным линейным пространством.

Если в пространстве L определено умножение его элементов на комплексные числа, то L называется комплексным векторным пространством.
© Веденяпин Е.Н. 2013ЗамечанияЭлементы линейного пространства называются векторами.Если в пространстве L определено умножение его элементов на вещественные

Слайд 8© Веденяпин Е.Н. 2013
1.1.3. Свойства линейного пространства
Свойство 1. Единственность нулевого

вектора

Пусть в L имеются два нулевых вектора

и . Тогда так как



то, полагая , получаем


и, полагая , получаем


В силу коммутативности сложения , откуда
© Веденяпин Е.Н. 20131.1.3. Свойства линейного пространстваСвойство 1. Единственность нулевого вектора Пусть в L имеются два нулевых

Слайд 9© Веденяпин Е.Н. 2013
Свойство 2. Единственность противоположного вектора
Предположим, что в

L у вектора имеются два противоположных вектора

и .

Тогда

Следовательно,

и

Отсюда
© Веденяпин Е.Н. 2013Свойство 2. Единственность противоположного вектораПредположим, что в L у вектора имеются два

Слайд 10© Веденяпин Е.Н. 2013
Свойство 3.
Доказательство



Прибавляя к левой и правой

частям равенства выражение , получим

© Веденяпин Е.Н. 2013Свойство 3. ДоказательствоПрибавляя к левой и правой частям равенства выражение

Слайд 11© Веденяпин Е.Н. 2013
Свойство 4.
Доказательство



Прибавляя к левой и правой

частям равенства выражение , получим

© Веденяпин Е.Н. 2013Свойство 4. ДоказательствоПрибавляя к левой и правой частям равенства выражение

Слайд 12© Веденяпин Е.Н. 2013
Свойство 5.
Если произведение

то либо

либо


Доказательство

Пусть

Тогда
© Веденяпин Е.Н. 2013Свойство 5. Если произведение то либо

Слайд 13© Веденяпин Е.Н. 2013
1.1.4. Примеры линейных пространств
Пример 1. Множество всех

вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения

Данное множество является

линейным пространством, если числовой множитель является элементом множества действительных чисел.

Если числовой множитель есть элемент множества комплексных чисел, то данное множество не образует вещественного пространства, так как произведение действительного числа на комплексное число в общем случае есть комплексное число.
© Веденяпин Е.Н. 20131.1.4. Примеры линейных пространствПример 1. Множество всех вещественных чисел с обычными операциями сложения и

Слайд 14© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример 2. Множество всех рациональных чисел
Множество

всех рациональных чисел образует линейное пространство, если числовой множитель есть

рациональное число.

Если числовой множитель является вещественным или комплексным числом, то это множество векторного пространства не образует.
© Веденяпин Е.Н. 2013Пример 2. Множество всех рациональных чисел Множество всех рациональных чисел образует линейное пространство, если

Слайд 15© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример 3
Рассмотрим множество элементов, каждый из

которых является упорядоченной последовательностью из действительных чисел.

Элементы этого множества называются

векторами и обозначаются
© Веденяпин Е.Н. 2013Пример 3 Рассмотрим множество элементов, каждый из которых является упорядоченной последовательностью из действительных чисел.Элементы

Слайд 16© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример 3 (окончание)
Операции сложения векторов и умножения

вектора на число вводятся так:






ВЫВОД. Введенные операции удовлетворяют всем аксиомам

линейного пространства (п. 3.1.1.). Следовательно, это множество является линейным пространством, Rn.

Очевидно, что нулевой вектор из Rn имеет вид
© Веденяпин Е.Н. 2013Пример 3 (окончание) Операции сложения векторов и умножения вектора на число вводятся так:ВЫВОД. Введенные

Слайд 17© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример 4. Множество многочленов
Множество всех многочленов

степени, не превосходящей n, с обычными для многочленов операциями сложения

и умножения на число является линейным пространством. В этом пространстве вектор x имеет вид:



где а0, а1, …, an – произвольные числа, х – переменная.
© Веденяпин Е.Н. 2013Пример 4. Множество многочленов Множество всех многочленов степени, не превосходящей n, с обычными для

Слайд 18© Веденяпин Е.Н. 2013
1.1.5. Линейное подпространство
Пусть множество R образует некоторое

линейного пространство.

Тогда всякое подмножество R1 множества R, элементы которого также

образуют векторное пространство с теми же самыми операциями сложения и умножения на число, что и в R, называется подпространством векторного пространства R.

Теорема. Для того чтобы подмножество R1 множества R было подпространством линейного пространства, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
© Веденяпин Е.Н. 20131.1.5. Линейное подпространствоПусть множество R образует некоторое линейного пространство.Тогда всякое подмножество R1 множества R,

Слайд 19© Веденяпин Е.Н. 2013
Проверка выполнимости аксиом линейного пространства
Необходимость следует из

того, что эти условия должны выполняться для любого векторного пространства.

Для

доказательства достаточности надо показать, что выполняются все восемь аксиом линейного пространства (п. 3.1.2).

Справедливость аксиом 1, 2, 4 - 8 очевидна.
© Веденяпин Е.Н. 2013Проверка выполнимости аксиом линейного пространстваНеобходимость следует из того, что эти условия должны выполняться для

Слайд 20© Веденяпин Е.Н. 2013
Проверка выполнимости 3 аксиомы линейного пространства
Докажем, что

аксиома 3 (существование нулевого элемента) выполняется.

По условию

Пусть =0. Тогда

Поскольку

следовательно, аксиома 3 выполняется.
© Веденяпин Е.Н. 2013Проверка выполнимости 3 аксиомы линейного пространстваДокажем, что аксиома 3 (существование нулевого элемента) выполняется. По

Слайд 211.2. Линейная независимость векторов 
1.2.1. Определение линейной зависимости

Пусть L – линейное

пространство. Векторы

называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1, 2, …, n, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация этих векторов равна нулю


Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми.

Векторы называются линейно независимыми, если равенство


выполняется, тогда и только тогда, когда 1=0, 2=0, …, n=0.

© Веденяпин Е.Н. 2013

1.2. Линейная независимость векторов 1.2.1. Определение линейной зависимостиПусть L – линейное пространство. Векторы

Слайд 22© Веденяпин Е.Н. 2013
1.2.2. Линейные комбинации векторов
Пусть векторы

линейно зависимы, то есть пусть в

соотношении


хотя бы один из коэффициентов 1, 2, …, n, например, 1 отличен от нуля.

Тогда

Откуда



Положим
© Веденяпин Е.Н. 20131.2.2. Линейные комбинации векторовПусть векторы линейно зависимы, то

Слайд 23© Веденяпин Е.Н. 2013
Определение линейной комбинации векторов
Получаем выражение одного вектора

через другие векторы



Если вектор выражается через векторы

в виде


то говорят, что есть линейная комбинация векторов
© Веденяпин Е.Н. 2013Определение линейной комбинации векторовПолучаем выражение одного вектора через другие векторыЕсли вектор выражается

Слайд 24© Веденяпин Е.Н. 2013
1.2.3. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов
Если

векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них является

линейной комбинацией остальных.

Верно и обратное утверждение: векторы, один из которых есть линейная комбинация остальных, линейно зависимы
© Веденяпин Е.Н. 20131.2.3. Линейная комбинация и линейная зависимость векторовЕсли векторы линейно зависимы, то хотя бы один

Слайд 25© Веденяпин Е.Н. 2013
Примеры линейной зависимости векторов
Пример 1. На прямой

любые два вектора пропорциональны, то есть линейно зависимы.

Пример 2.

На плоскости найдутся два линейно независимых вектора, но всякие три вектора линейно зависимы.

Пример 3. Если L – совокупность векторов трехмерного пространства, то найдутся три линейно независимых вектора в R, но всякие четыре вектора линейно зависимы.

ВЫВОД. Видно, что максимальное число линейно независимых векторов на прямой, плоскости, в трехмерном пространстве совпадает с тем, что в аналитической геометрии принято называть размерностью прямой, плоскости, пространства.
© Веденяпин Е.Н. 2013Примеры линейной зависимости векторовПример 1. На прямой любые два вектора пропорциональны, то есть линейно

Слайд 26© Веденяпин Е.Н. 2013
1.2.4. Размерность линейного пространства
Линейное пространство L называется

n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, но

больше чем n линейно независимых векторов оно не содержит.

Линейное пространство размерности n обозначается Ln.

Если в пространстве L можно найти любое число линейно независимых векторов, то L называется бесконечномерным.
© Веденяпин Е.Н. 20131.2.4. Размерность линейного пространстваЛинейное пространство L называется n-мерным, если в нем существует n линейно

Слайд 271.3. Базис линейного пространства
1.3.1. Определение базиса линейного пространства

Совокупность любых n

линейно независимых векторов пространства Ln называется его базисом.

Замечание. Согласно

определению n-мерного векторного пространства Ln в нем существует n линейно независимых векторов, то есть существует базис.

© Веденяпин Е.Н. 2013

1.3. Базис линейного пространства1.3.1. Определение базиса линейного пространстваСовокупность любых n линейно независимых векторов пространства Ln называется его

Слайд 28© Веденяпин Е.Н. 2013
1.3.2. Теорема о представлении вектора
Каждый вектор

линейного пространства можно представить, и притом единственным образом, как

линейную комбинацию векторов базиса.
© Веденяпин Е.Н. 20131.3.2. Теорема о представлении вектора Каждый вектор линейного пространства можно представить, и притом

Слайд 29© Веденяпин Е.Н. 2013
1.3.3. Координаты вектора
Пусть в n-мерном линейном

пространстве Ln задан базис

Используя выражение


можно установить взаимно однозначное соответствие между

векторами этого пространства и упорядоченными последовательностями из n чисел х1, х2, …, хn.

Числа х1, х2, …, хn называются координатами вектора в базисе


Обозначения:
© Веденяпин Е.Н. 20131.3.3. Координаты вектора Пусть в n-мерном линейном пространстве Ln задан базисИспользуя выражениеможно установить взаимно

Слайд 30© Веденяпин Е.Н. 2013
Равенство векторов
Из приведенной теоремы следует, что два

вектора



равны тогда и только тогда, когда их координаты в базисе


равны,

то есть когда
© Веденяпин Е.Н. 2013Равенство векторовИз приведенной теоремы следует, что два вектораравны тогда и только тогда, когда их

Слайд 31© Веденяпин Е.Н. 2013
1.3.4. Операции над векторами в координатной форме


Сложение векторов

Пусть в пространстве Ln задан базис

Тогда любые векторы х

и у из Ln можно единственным образом представить в виде


На основании аксиом сложения векторов получаем



© Веденяпин Е.Н. 20131.3.4. Операции над векторами в координатной форме Сложение векторовПусть в пространстве Ln задан базисТогда

Слайд 32© Веденяпин Е.Н. 2013
Умножение вектора на число
Рассмотрим умножение вектора х

на число .

Пусть в пространстве Ln задан базис

Тогда любой вектор

х из Ln можно единственным образом представить в виде


На основании аксиом умножения вектора на число получаем


© Веденяпин Е.Н. 2013Умножение вектора на числоРассмотрим умножение вектора х на число .Пусть в пространстве Ln задан

Слайд 33Если векторы пространства Ln заданы своими координатами относительно некоторого базиса

, то при

сложении векторов их координаты складываются



Следовательно, если вектор пространства Ln задан своими координатами относительно некоторого базиса , то при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число

© Веденяпин Е.Н. 2013

Выводы

Если векторы пространства Ln заданы своими координатами относительно некоторого базиса

Слайд 34© Веденяпин Е.Н. 2013
1.3.5. Линейные комбинации векторов в координатной форме


Пусть дана линейная комбинация векторов


где

© Веденяпин Е.Н. 20131.3.5. Линейные комбинации векторов в координатной форме Пусть дана линейная комбинация векторовгде

Слайд 35© Веденяпин Е.Н. 2013
Линейные комбинации векторов в координатной форме (окончание)
Тогда








ВЫВОД.

Координаты линейной комбинации векторов являются линейными комбинациями соответствующих координат векторов.

© Веденяпин Е.Н. 2013Линейные комбинации векторов в координатной форме (окончание)ТогдаВЫВОД. Координаты линейной комбинации векторов являются линейными комбинациями

Слайд 36© Веденяпин Е.Н. 2013
1.3.6. Координаты нулевого вектора
У нулевого вектора все

координаты равны нулю.

Доказательство



Так как базисные вектора линейно независимы, то

© Веденяпин Е.Н. 20131.3.6. Координаты нулевого вектораУ нулевого вектора все координаты равны нулю.ДоказательствоТак как базисные вектора линейно

Слайд 37© Веденяпин Е.Н. 2013
1.3.7. Координаты противоположного вектора
Вектор, противоположный вектору


равен


Доказательство

© Веденяпин Е.Н. 20131.3.7. Координаты противоположного вектораВектор, противоположный векторуравенДоказательство

Слайд 381.4. Примеры базисов линейных пространств
1.4.1. Трехмерное пространство

Для случая трехмерного пространства

L3 определение координат вектора совпадает с имеющимся в аналитической геометрии

определением координат вектора в некоторой системе координат

© Веденяпин Е.Н. 2013

1.4. Примеры базисов линейных пространств1.4.1. Трехмерное пространствоДля случая трехмерного пространства L3 определение координат вектора совпадает с имеющимся

Слайд 39© Веденяпин Е.Н. 2013
1.4.2. n-мерное пространство
Пусть имеется Ln – пространство,

векторами которого являются упорядоченные системы


из n чисел.

Очевидно, что n векторов







образуют

базис пространства Ln.
© Веденяпин Е.Н. 20131.4.2. n-мерное пространствоПусть имеется Ln – пространство, векторами которого являются упорядоченные системыиз n чисел.Очевидно,

Слайд 40© Веденяпин Е.Н. 2013
Определение координат вектора
Найдем координаты вектора х в

данном базисе






ВЫВОД. Числа х1, х2, …, хn можно рассматривать как

координаты вектора


в базисе

пространства Ln.
© Веденяпин Е.Н. 2013Определение координат вектораНайдем координаты вектора х в данном базисеВЫВОД. Числа х1, х2, …, хn

Слайд 41© Веденяпин Е.Н. 2013
1.4.3. Пространство многочленов степени n-1
Рассмотрим пространство Ln

многочленов степени не выше n-1.

Базисом является совокупность n векторов

© Веденяпин Е.Н. 20131.4.3. Пространство многочленов степени n-1Рассмотрим пространство Ln многочленов степени не выше n-1.Базисом является совокупность

Слайд 42© Веденяпин Е.Н. 2013
Представление многочлена в выбранном базисе
Тогда координатами многочлена





в этом базисе являются его коэффициенты

© Веденяпин Е.Н. 2013Представление многочлена в выбранном базисеТогда координатами многочлена в этом базисе являются его коэффициенты

Слайд 43 2. Преобразование координат при замене базиса
Рассматриваемые вопросы:

2.1. Замена базиса

в трехмерном пространстве
2.2. Пример замены базиса в трехмерном пространстве
2.3. Замена

базиса в n-мерном пространстве
2.4. Изоморфизм линейных пространств

© Веденяпин Е.Н. 2013

 2. Преобразование координат при замене базиса Рассматриваемые вопросы:2.1. Замена базиса в трехмерном пространстве2.2. Пример замены базиса в

Слайд 442.1. Замена базиса в трехмерном пространстве 
2.1.1. Изменение базиса для пространственной

системы координат

Пусть имеется базис


Рассмотрим другой базис
© Веденяпин Е.Н. 2013

2.1. Замена базиса в трехмерном пространстве 2.1.1. Изменение базиса для пространственной системы координатПусть имеется базисРассмотрим другой базис© Веденяпин

Слайд 45© Веденяпин Е.Н. 2013
Матрица перехода
Базисные вектора нового базиса в старом

базисе






Матрица перехода от старого базиса к новому





ВЫВОД. Столбцы матрицы перехода

образуются из коэффициентов разложения новых базисных векторов по старом базису.
© Веденяпин Е.Н. 2013Матрица переходаБазисные вектора нового базиса в старом базисеМатрица перехода от старого базиса к новомуВЫВОД.

Слайд 46© Веденяпин Е.Н. 2013
Матричная форма записи
Используя матрицу перехода, можно соотношению

между новыми и старыми базисными векторами придать матричную форму






Или

© Веденяпин Е.Н. 2013Матричная форма записиИспользуя матрицу перехода, можно соотношению между новыми и старыми базисными векторами придать

Слайд 47© Веденяпин Е.Н. 2013
Обратный переход
Поскольку базисные вектора линейно независимы, то

определитель матрицы перехода А не равен нулю, то есть матрица

перехода невырожденная.

Следовательно, существует обратная матрица А-1.





Матрица перехода от нового базиса к старому
© Веденяпин Е.Н. 2013Обратный переходПоскольку базисные вектора линейно независимы, то определитель матрицы перехода А не равен нулю,

Слайд 48© Веденяпин Е.Н. 2013
2.1.2. Связь между координатами вектора в различных

базисах в пространстве
Компоненты вектора а в старом и новом базисах


Подставляя

выражение новых базисных векторов через старые базисные вектора, получаем




Связь между координатами вектора в старом и новом базисах
© Веденяпин Е.Н. 20132.1.2. Связь между координатами вектора в различных базисах в пространствеКомпоненты вектора а в старом

Слайд 49© Веденяпин Е.Н. 2013
Преобразование координат вектора при переходе от старого

базиса к новому
Выражение новых координат вектора через старые координаты получаем

аналогично.

Результат будет идентичен предыдущему, только матрица перехода будет составлена из компонентов старых базисных векторов в новом базисе.
© Веденяпин Е.Н. 2013Преобразование координат вектора при переходе от старого базиса к новомуВыражение новых координат вектора через

Слайд 50© Веденяпин Е.Н. 2013
2.1.3. Связь между координатами вектора в различных

базисах на плоскости
Компоненты вектора а в старом и новом базисах

на плоскости


Подставляя выражение новых базисных векторов через старые базисные вектора, получаем




Связь между координатами вектора в старом и новом базисах
© Веденяпин Е.Н. 20132.1.3. Связь между координатами вектора в различных базисах на плоскостиКомпоненты вектора а в старом

Слайд 51© Веденяпин Е.Н. 2013
2.1.4. Изменение системы координат в пространстве
Рассмотрим две

декартовы системы координат: старую (0, е1, е2, е3) и новую

(0’, е’1, е’2, е’3).

Пусть М – произвольная точка, координаты которой в этих системах координат будут соответственно равны


Выразим координаты точки в старой системе отсчета через координаты в новой системе отсчета, если известно положение новой системы координат относительно старой.

Положение новой системы координат относительно старой определяется координатами начала координат 0’(x’0, y’0, z’0) и компонентами базисных векторов е’1, е’2, е’3, составляющих матрицу перехода.
© Веденяпин Е.Н. 20132.1.4. Изменение системы координат в пространствеРассмотрим две декартовы системы координат: старую (0, е1, е2,

Слайд 52© Веденяпин Е.Н. 2013
Закон преобразования координат точки при замене базиса
Радиус-векторы

точки М относительно начал координат 0 и 0’ связаны соотношением

Запишем

это соотношение в виде


Разложим каждый член равенства по базису е’1, е’2, е’3. Принимаем, что компоненты векторов 0М и 00’ равны координатам точек М и 0’ соответственно.

Координаты точки 0’ равны
© Веденяпин Е.Н. 2013Закон преобразования координат точки при замене базисаРадиус-векторы точки М относительно начал координат 0 и

Слайд 53© Веденяпин Е.Н. 2013
Закон преобразования координат точки (окончание)
Получаем закон преобразования координат

точки при переходе от одной пространственной декартовой системы координат к

другой такой же системе координат
© Веденяпин Е.Н. 2013Закон преобразования координат точки (окончание)Получаем закон преобразования координат точки при переходе от одной пространственной

Слайд 54© Веденяпин Е.Н. 2013
2.1.5. Изменение системы координат на плоскости
Закон преобразования

координат точки при переходе от одной системы координат на плоскости

к другой системе получаются аналогично
© Веденяпин Е.Н. 20132.1.5. Изменение системы координат на плоскостиЗакон преобразования координат точки при переходе от одной системы

Слайд 55© Веденяпин Е.Н. 2013
Частный случай декартовых прямоугольных систем координат
Пусть обе

системы координат на плоскости являются прямоугольными.




Закон преобразования координат

© Веденяпин Е.Н. 2013Частный случай декартовых прямоугольных систем координатПусть обе системы координат на плоскости являются прямоугольными.Закон преобразования

Слайд 562.2. Пример замены базиса в трехмерном пространстве 
2.2.1. Постановка задачи

В базисе

пространства R3





заданы векторы
© Веденяпин Е.Н. 2013

2.2. Пример замены базиса в трехмерном пространстве 2.2.1. Постановка задачиВ базисе пространства R3заданы векторы © Веденяпин Е.Н. 2013

Слайд 57© Веденяпин Е.Н. 2013
Постановка задачи (окончание)
Доказать, что векторы а1, а2, а3

образуют базис.

Выразить связь между базисами е1, е2, е3 и а1,

а2, а3.

Найти координаты вектора b в базисе а1, а2, а3.

© Веденяпин Е.Н. 2013Постановка задачи (окончание)Доказать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис.Выразить связь между базисами е1,

Слайд 58© Веденяпин Е.Н. 2013
2.2.2. Проверка линейной независимости векторов а1, а2,

а3
Векторы а1, а2, а3 образуют базис в пространстве R3, поскольку

они линейно независимы, а их число равно размерности пространства.

Доказательство

Составим линейную комбинацию векторов а1, а2, а3 и найдем числа 1, 2, 3, когда линейная комбинация обращается в нуль.
© Веденяпин Е.Н. 20132.2.2. Проверка линейной независимости векторов а1, а2, а3Векторы а1, а2, а3 образуют базис в

Слайд 59© Веденяпин Е.Н. 2013
Проверка линейной независимости векторов а1, а2, а3 (продолжение)
Найдем

решение системы уравнений относительно 1, 2, 3 с помощью метода

Гаусса.

Приведение матрицы коэффициентов системы уравнений к треугольному виду





Определитель
© Веденяпин Е.Н. 2013Проверка линейной независимости векторов а1, а2, а3 (продолжение)Найдем решение системы уравнений относительно 1, 2,

Слайд 60© Веденяпин Е.Н. 2013
Проверка линейной независимости векторов а1, а2, а3 (окончание)
Если

определитель матрицы системы однородных уравнений не равен нулю, то система

имеет только тривиальное решение



ВЫВОД. Векторы а1, а2, а3 линейно независимы и, следовательно, образуют базис в пространстве R3.
© Веденяпин Е.Н. 2013Проверка линейной независимости векторов а1, а2, а3 (окончание)Если определитель матрицы системы однородных уравнений не

Слайд 61© Веденяпин Е.Н. 2013
2.2.3. Нахождение вектора b в базисе а1, а2,

а3
Выразим векторы аi через вектора е1, е2, е3.





Найдем матрицу перехода

А





ВЫВОД. Найдена матрица перехода от базиса е1, е2, е3 к базису а1, а2, а3.
© Веденяпин Е.Н. 20132.2.3. Нахождение вектора b в базисе а1, а2, а3Выразим векторы аi через вектора е1,

Слайд 62© Веденяпин Е.Н. 2013
Обратная матрица перехода
Поскольку матрица А невырожденная, то

обратная матрица А-1 существует









Матрица А-1 является матрицей перехода от базиса

а1, а2, а3 к базису е1, е2, е3.
© Веденяпин Е.Н. 2013Обратная матрица переходаПоскольку матрица А невырожденная, то обратная матрица А-1 существуетМатрица А-1 является матрицей

Слайд 63© Веденяпин Е.Н. 2013
Координаты вектора b в новом базисе
Координаты вектора

b в базисе а1, а2, а3






© Веденяпин Е.Н. 2013Координаты вектора b в новом базисеКоординаты вектора b в базисе а1, а2, а3

Слайд 64© Веденяпин Е.Н. 2013
2.2.4. Нахождение связи между базисами е1, е2, е3

и а1, а2, а3
Связь между базисом а1, а2, а3 и

е1, е2, е3








Связь между базисом е1, е2, е3 и а1, а2, а3
© Веденяпин Е.Н. 20132.2.4. Нахождение связи между базисами е1, е2, е3 и а1, а2, а3Связь между базисом

Слайд 65© Веденяпин Е.Н. 2013
Нахождение связи между базисами е1, е2, е3 и

а1, а2, а3 (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013Нахождение связи между базисами е1, е2, е3 и а1, а2, а3 (окончание)

Слайд 662.3. Замена базиса в n-мерном пространстве 
2.3.1. Матрица перехода

Пусть в n-мерном

пространстве Rn даны два базиса

И


Разложим каждый вектор второго базиса по

первому базису

© Веденяпин Е.Н. 2013

2.3. Замена базиса в n-мерном пространстве 2.3.1. Матрица переходаПусть в n-мерном пространстве Rn даны два базисаИРазложим каждый вектор

Слайд 67© Веденяпин Е.Н. 2013
Матрица перехода от старого базиса к новому
Столбцы

матрицы перехода образуются из коэффициентов разложения новых базисных векторов по

старом базису.

Матричная форма записи
© Веденяпин Е.Н. 2013Матрица перехода от старого базиса к новомуСтолбцы матрицы перехода образуются из коэффициентов разложения новых

Слайд 68© Веденяпин Е.Н. 2013
Матрица перехода от нового базиса к старому
Матрица

перехода А невырожденная, поскольку базисные вектора линейно независимы.

Следовательно, обратная матрица

А-1 существует.

Умножим обе части уравнения на А-1


Отсюда
© Веденяпин Е.Н. 2013Матрица перехода от нового базиса к старомуМатрица перехода А невырожденная, поскольку базисные вектора линейно

Слайд 69© Веденяпин Е.Н. 2013
2.3.2. Последовательная замена нескольких базисов
Пусть в линейном

пространстве Rn даны три базиса е, е’, e’’, причем



Получаем



ВЫВОД. При

последовательной замене базисов матрицы перехода перемножаются, причем последующие множители располагаются правее.
© Веденяпин Е.Н. 20132.3.2. Последовательная замена нескольких базисовПусть в линейном пространстве Rn даны три базиса е, е’,

Слайд 70© Веденяпин Е.Н. 2013
4.3.3. Матрица перехода к произвольному базису
Пусть

задан базис е.

Любая невырожденная матрица А порядка n (det

A≠0) является матрицей перехода от базиса е к некоторому базису е’.

Действительно, при det A≠0 столбцы матрицы А линейно независимы и являются координатными столбцами n линейно независимых векторов, которые и составляют базис e’.
© Веденяпин Е.Н. 20134.3.3. Матрица перехода к произвольному базису Пусть задан базис е. Любая невырожденная матрица А

Слайд 71© Веденяпин Е.Н. 2013
2.3.4. Компоненты вектора в различных базисах
Пусть имеются

два базиса е и е’.

Пусть имеется некоторый вектор b, который

имеет представление в рассматриваемых базисах


Подставим выражение для базиса е’ в формулу


Получим


С другой стороны
© Веденяпин Е.Н. 20132.3.4. Компоненты вектора в различных базисахПусть имеются два базиса е и е’.Пусть имеется некоторый

Слайд 72© Веденяпин Е.Н. 2013
Компоненты вектора в различных базисах (окончание)
В силу единственности

координатного столбца получаем




Подробнее эта формула может быть представлена в виде

© Веденяпин Е.Н. 2013Компоненты вектора в различных базисах (окончание)В силу единственности координатного столбца получаемПодробнее эта формула может

Слайд 734.4. Изоморфизм линейных пространств 
2.4.1. Определение изоморфизма

Линейные пространства R и R’

называются изоморфными, если между их векторами можно установить взаимно однозначное

соответствие, такое, что если


и


то

© Веденяпин Е.Н. 2013

4.4. Изоморфизм линейных пространств 2.4.1. Определение изоморфизмаЛинейные пространства R и R’ называются изоморфными, если между их векторами можно

Слайд 74© Веденяпин Е.Н. 2013
2.4.2. Следствие из определения изоморфизма
Из определения изоморфизма

следует, что если


а

то равенство

равносильно равенству


ВЫВОД. Линейно независимым векторам из пространства

R соответствуют линейно независимые векторы из R’.

Верно и обратное.
© Веденяпин Е.Н. 20132.4.2. Следствие из определения изоморфизмаИз определения изоморфизма следует, что еслиато равенстворавносильно равенствуВЫВОД. Линейно независимым

Слайд 75© Веденяпин Е.Н. 2013
2.4.3. Изоморфизм пространств одинаковой размерности
Все линейные

пространства, имеющие одну и ту размерность n, изоморфны между собой.

Пространства

различной размерности не могут быть между собой изоморфны.

Действительно, пусть пространства R и R’ изоморфны.

Тогда максимальное количество линейно независимых векторов в R и R’ одно и то же.

Это означает, что оба пространства имеют одинаковую размерность.
© Веденяпин Е.Н. 20132.4.3. Изоморфизм пространств одинаковой размерности Все линейные пространства, имеющие одну и ту размерность n,

Слайд 76 3. Линейные подпространства
Рассматриваемые вопросы:

3.1. Линейные подпространства
3.2. Сумма и пересечение

линейных подпространств
3.3. Свойства суммы и пересечения линейных подпространств
3.4. Линейная оболочка
3.5.

Свойства линейной оболочки

© Веденяпин Е.Н. 2013

 3. Линейные подпространства Рассматриваемые вопросы:3.1. Линейные подпространства3.2. Сумма и пересечение линейных подпространств3.3. Свойства суммы и пересечения линейных

Слайд 773.1. Линейные подпространства 
3.1.1. Определение линейного подпространства

Пусть имеется некоторое линейное пространство

R. Выберем из этого пространства некоторую совокупность векторов и обозначим

ее V.

Пусть для любых векторов х и у (хV, уV) и любого числа  выполняются условия


Тогда множество векторов V называется линейным подпространством пространства R.

© Веденяпин Е.Н. 2013

3.1. Линейные подпространства 3.1.1. Определение линейного подпространстваПусть имеется некоторое линейное пространство R. Выберем из этого пространства некоторую совокупность

Слайд 78© Веденяпин Е.Н. 2013
3.1.2. Примеры линейных подпространств
Пример 1

Каждое пространство R

обладает двумя подпространствами:

нулевым подпространством О



самим пространством R



Нулевое подпространство О

и само пространство R называются тривиальными подпространствами.
© Веденяпин Е.Н. 20133.1.2. Примеры линейных подпространствПример 1Каждое пространство R обладает двумя подпространствами: нулевым подпространством Осамим пространством

Слайд 79© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример 2
Линейное пространство R1 векторов на прямой,

проходящих через начало координат, имеет два тривиальных подпространства

© Веденяпин Е.Н. 2013Пример 2Линейное пространство R1 векторов на прямой, проходящих через начало координат, имеет два тривиальных

Слайд 80© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример 3
Линейное пространство R2 векторов на плоскости

имеет, кроме двух тривиальных подпространства, бесконечное множество подпространств V’1, V’’1,

V’’’1, ... .

Каждое из этих подпространств состоит из векторов, лежащих на прямой, проходящей через начало координат.
© Веденяпин Е.Н. 2013Пример 3Линейное пространство R2 векторов на плоскости имеет, кроме двух тривиальных подпространства, бесконечное множество

Слайд 81© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример 4
В геометрическом пространстве R3 векторов пространства

каждая прямая и каждая плоскость, проходящие через начало координат, являются

линейными подпространствами геометрического пространства R3.
© Веденяпин Е.Н. 2013Пример 4В геометрическом пространстве R3 векторов пространства каждая прямая и каждая плоскость, проходящие через

Слайд 823.2. Сумма и пересечение линейных подпространств
3.2.1. Сумма линейных подпространств

Суммой V’+V’’

линейных подпространств линейного пространства R называется совокупность всех векторов аR,

которые можно представить в виде (разложить)



Если для каждого вектора а данное разложение является единственным, то сумма линейных подпространств V’+V’’ называется прямой суммой.

Обозначение:

© Веденяпин Е.Н. 2013

3.2. Сумма и пересечение линейных подпространств3.2.1. Сумма линейных подпространствСуммой V’+V’’ линейных подпространств линейного пространства R называется совокупность

Слайд 83© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример суммы подпространств
Каждый вектор а линейного пространства

R2 векторов на плоскости можно представить в виде


Здесь подпространства V’1

и V’’1 - это совокупности векторов, лежащих на соответствующих координатных осях.

В силу единственности разложения
© Веденяпин Е.Н. 2013Пример суммы подпространствКаждый вектор а линейного пространства R2 векторов на плоскости можно представить в

Слайд 84© Веденяпин Е.Н. 2013
3.2.2. Пересечение линейных подпространств
Пересечением V’V’’ линейных подпространств

V’ и V’’ линейного пространства R называется совокупность всех векторов

аR, которые принадлежат одновременно подпространствам V’ и V’’ .
© Веденяпин Е.Н. 20133.2.2. Пересечение линейных подпространствПересечением V’V’’ линейных подпространств V’ и V’’ линейного пространства R называется

Слайд 85© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример пересечения подпространств
Рассмотрим подпространства V’2 и V’’2,

являющиеся плоскостями, проходящими через координатную ось 0х.

Вектора b1 и b2,

лежащие одновременно в обеих плоскостях, принадлежат пересечению подпространств V’2 и V’’2
© Веденяпин Е.Н. 2013Пример пересечения подпространствРассмотрим подпространства V’2 и V’’2, являющиеся плоскостями, проходящими через координатную ось 0х.Вектора

Слайд 863.3. Свойства суммы и пересечения линейных подпространств
3.3.1. Первое свойство суммы

и пересечения линейных подпространств

Сумма и пересечение линейных подпространств в свою

очередь являются линейными подпространствами.

© Веденяпин Е.Н. 2013

3.3. Свойства суммы и пересечения линейных подпространств3.3.1. Первое свойство суммы и пересечения линейных подпространствСумма и пересечение линейных

Слайд 87© Веденяпин Е.Н. 2013
3.3.2. Второе свойство суммы и пересечения линейных

подпространств
Размерность суммы линейных подпространств равна сумме размерностей этих подпространств минус

размерность их пересечения.
© Веденяпин Е.Н. 20133.3.2. Второе свойство суммы и пересечения линейных подпространствРазмерность суммы линейных подпространств равна сумме размерностей

Слайд 883.4. Линейная оболочка
3.4.1. Определение линейной оболочки

Линейной оболочкой L(x1, x2) двух

векторов x1 и x2, принадлежащих линейному пространству R, называется совокупность

всех линейных комбинаций этих векторов



Здесь  и  - произвольные действительные числа.

Замечание. Линейная оболочка состоит из бесчисленного множества векторов а, которые могут быть представлены в виде линейной комбинации векторов x1 и x2.

© Веденяпин Е.Н. 2013

3.4. Линейная оболочка3.4.1. Определение линейной оболочкиЛинейной оболочкой L(x1, x2) двух векторов x1 и x2, принадлежащих линейному пространству

Слайд 89© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример линейной оболочки

© Веденяпин Е.Н. 2013Пример линейной оболочки

Слайд 90 4. Евклидово пространство
Рассматриваемые вопросы:

4.1. Евклидово пространство
4.2. Длина вектора и

угол между векторами
4.3. Ортонормированная система векторов
4.4. Процесс ортогонализации векторов
4.5. Построение

ортонормированного базиса

© Веденяпин Е.Н. 2013

 4. Евклидово пространство Рассматриваемые вопросы:4.1. Евклидово пространство4.2. Длина вектора и угол между векторами4.3. Ортонормированная система векторов4.4. Процесс

Слайд 914.1. Евклидово пространство 
4.1.1. Определение евклидова пространства

n – мерное векторное пространство

Еn называется евклидовым, если каждой паре векторов x и y

из Еn поставлено в соответствие вещественное число (x, y), называемое скалярным произведением.

© Веденяпин Е.Н. 2013

4.1. Евклидово пространство 4.1.1. Определение евклидова пространстваn – мерное векторное пространство Еn называется евклидовым, если каждой паре векторов

Слайд 92© Веденяпин Е.Н. 2013
Евклид
ЕВКЛИД
(ок. 300 г. до н.э.)

© Веденяпин Е.Н. 2013ЕвклидЕВКЛИД(ок. 300 г. до н.э.)

Слайд 93© Веденяпин Е.Н. 2013
Аксиомы скалярного произведения
Скалярное произведение удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома

линейности по первому аргументу



Аксиома коммутативности



Аксиома положительной определенности

© Веденяпин Е.Н. 2013Аксиомы скалярного произведенияСкалярное произведение удовлетворяет следующим аксиомам:Аксиома линейности по первому аргументуАксиома коммутативностиАксиома положительной определенности

Слайд 94© Веденяпин Е.Н. 2013
Следствие из аксиом скалярного произведения
Из аксиомы линейности

по первому аргументу и аксиомы коммутативности следует свойство линейности скалярного

произведения по второму аргументу
© Веденяпин Е.Н. 2013Следствие из аксиом скалярного произведенияИз аксиомы линейности по первому аргументу и аксиомы коммутативности следует

Слайд 95© Веденяпин Е.Н. 2013
4.1.2. Первый пример евклидового линейного подпространства
Вектором пространства

En является любая упорядоченная система n действительных чисел


Сложение векторов и

умножение их на число определены ранее.

Скалярное произведение векторов


определим формулой


Видно, что аксиомы 1 – 3 действительно выполняются.
© Веденяпин Е.Н. 20134.1.2. Первый пример евклидового линейного подпространстваВектором пространства En является любая упорядоченная система n действительных

Слайд 96© Веденяпин Е.Н. 2013
4.1.3. Второй пример евклидового линейного подпространства
Определим вектор

xEn как упорядоченную совокупность n действительных чисел.

Сложение векторов и

умножение их на число определим так же, как в примере 1.

Пусть задана некоторая квадратная матрица А порядка n.

Скалярное произведение векторов x и y определим формулой
© Веденяпин Е.Н. 20134.1.3. Второй пример евклидового линейного подпространстваОпределим вектор xEn как упорядоченную совокупность n действительных чисел.

Слайд 97© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример 2 (продолжение)
Найдем условия, которым должна удовлетворять матрица

А, чтобы определенное данной формулой скалярное произведение удовлетворяло бы аксиомам

1 – 3.

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что аксиома 1 выполняется для любой квадратной матрицы А.

Для того, чтобы была выполнена аксиома 2, то есть чтобы выражение (x, y) было симметричным относительно x и y, необходимо и достаточно, чтобы aij=aji, то есть чтобы матрица А, была симметричной.
© Веденяпин Е.Н. 2013Пример 2 (продолжение)Найдем условия, которым должна удовлетворять матрица А, чтобы определенное данной формулой скалярное

Слайд 98© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример 2 (продолжение)
Для выполнения аксиомы 3 необходимо, чтобы

выражение




было неотрицательно для любых 1, 2, ..., n и обращалось

в нуль лишь если 1=0, 2=0, 3=0, ..., n=0.
© Веденяпин Е.Н. 2013Пример 2 (продолжение)Для выполнения аксиомы 3 необходимо, чтобы выражениебыло неотрицательно для любых 1, 2,

Слайд 99© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример 2 (окончание)
Квадратичная форма (однородный многочлен), определяемая формулой




называется положительно определенной, если она принимает неотрицательные значения при любых

i и обращается в нуль только тогда, когда все i равны нулю.

Следовательно, для выполнения аксиомы 3 необходимо, чтобы квадратичная форма



была положительно определенной.
© Веденяпин Е.Н. 2013Пример 2 (окончание)Квадратичная форма (однородный многочлен), определяемая формулой называется положительно определенной, если она принимает

Слайд 100© Веденяпин Е.Н. 2013
Условия, при которых матрица задает скалярное произведение
Всякая

квадратная матрица А порядка n задает скалярное произведение в линейном

пространстве Еn, определяемое формулой



при выполнении следующих условий:

матрица А симметричная;

соответствующая ей квадратичная форма положительно определенная.
© Веденяпин Е.Н. 2013Условия, при которых матрица задает скалярное произведениеВсякая квадратная матрица А порядка n задает скалярное

Слайд 101© Веденяпин Е.Н. 2013
Частный случай
Если в качестве матрицы А взять

единичную матрицу Е, то есть положить aii=1, а aij=0 (i

 j), то скалярное произведение принимает вид




Получаем евклидово пространство, определенное в п. 6.1.2.
© Веденяпин Е.Н. 2013Частный случайЕсли в качестве матрицы А взять единичную матрицу Е, то есть положить aii=1,

Слайд 1024.2. Длина вектора и угол между векторами 
4.2.1. Норма (длина) вектора

Нормой

(длиной) ||x|| вектора x в пространстве Еn называется корень квадратный

из скалярного произведения вектора х на самого себя

© Веденяпин Е.Н. 2013

4.2. Длина вектора и угол между векторами 4.2.1. Норма (длина) вектораНормой (длиной) ||x|| вектора x в пространстве Еn

Слайд 103© Веденяпин Е.Н. 2013
4.2.2. Теорема Пифагора
Векторы x и y ,

скалярное произведение (x, y) которых равно нулю, называются ортогональными.

В любом

евклидовом пространстве Еn верна теорема Пифагора.

Теорема. Если векторы x и y ортогональны, то
© Веденяпин Е.Н. 20134.2.2. Теорема ПифагораВекторы x и y , скалярное произведение (x, y) которых равно нулю,

Слайд 104© Веденяпин Е.Н. 2013
Пифагор
ПИФАГОР
Самосский
(570 – 490 г.г. до н.э.)

© Веденяпин Е.Н. 2013ПифагорПИФАГОРСамосский(570 – 490 г.г. до н.э.)

Слайд 105© Веденяпин Е.Н. 2013
4.2.3. Угол между векторами
Угол между ненулевыми векторами

x и y определяется равенством




Замечание. Если x и y –

ненулевые векторы из Еn, то их ортогональность означает, что угол  между ними равен
© Веденяпин Е.Н. 20134.2.3. Угол между векторамиУгол между ненулевыми векторами x и y определяется равенствомЗамечание. Если x

Слайд 106© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример
Найти угол между векторами а и b

в четырехмерном пространстве, если

© Веденяпин Е.Н. 2013ПримерНайти угол между векторами а и b в четырехмерном пространстве, если

Слайд 107© Веденяпин Е.Н. 2013
4.2.4. Неравенство Коши-Буняковского
В любом евклидовом пространстве Еn

справедливо неравенство Коши-Буняковского



Отсюда следует




Это означает, что косинус угла между векторами

из Еn по модулю, не превосходит единицы.
© Веденяпин Е.Н. 20134.2.4. Неравенство Коши-БуняковскогоВ любом евклидовом пространстве Еn справедливо неравенство Коши-БуняковскогоОтсюда следуетЭто означает, что косинус

Слайд 108© Веденяпин Е.Н. 2013
Коши и Буняковский
Огюстен Луи
КОШИ
(1789 – 1857)
Виктор Яковлевич


БУНЯКОВСКИЙ
(1804 – 1889)

© Веденяпин Е.Н. 2013Коши и БуняковскийОгюстен ЛуиКОШИ(1789 – 1857)Виктор Яковлевич БУНЯКОВСКИЙ(1804 – 1889)

Слайд 1094.3. Ортонормированная система векторов 
4.3.1. Нормированный вектор

Ненулевой вектор x пространства Еn,

называется нормированным, если его норма (длина) равна единице.
© Веденяпин Е.Н.

2013
4.3. Ортонормированная система векторов 4.3.1. Нормированный векторНенулевой вектор x пространства Еn, называется нормированным, если его норма (длина) равна

Слайд 110© Веденяпин Е.Н. 2013
4.3.2. Нормирующий множитель
Любой ненулевой вектор можно умножить

на некоторое число так, что в результате получится нормированный вектор.

Доказательство

Действительно,

пусть xEn – ненулевой вектор. Тогда


Достаточно взять  таким, чтобы




Число  называется нормирующим множителем для вектора x.
© Веденяпин Е.Н. 20134.3.2. Нормирующий множительЛюбой ненулевой вектор можно умножить на некоторое число так, что в результате

Слайд 111© Веденяпин Е.Н. 2013
Пример
Найти нормирующий множитель для вектора а, если


Построить

нормированный вектор.

© Веденяпин Е.Н. 2013ПримерНайти нормирующий множитель для вектора а, еслиПостроить нормированный вектор.

Слайд 112© Веденяпин Е.Н. 2013
4.3.3. Ортонормированная система векторов
Система векторов


в пространства

Еn называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны.

Система векторов

называется ортонормированной, если векторы этой системы попарно ортогональны и имеют норму, равную единице, то есть если
© Веденяпин Е.Н. 20134.3.3. Ортонормированная система векторовСистема векторов в пространства Еn называется ортогональной, если векторы этой системы

Слайд 113© Веденяпин Е.Н. 2013
4.3.4. Теорема о линейной независимости ортогональной системы

векторов
Ортогональная система ненулевых векторов пространства Еn линейно независима.

Доказательство

Пусть ненулевые векторы




попарно ортогональны.

Тогда
© Веденяпин Е.Н. 20134.3.4. Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторовОртогональная система ненулевых векторов пространства Еn линейно

Слайд 114© Веденяпин Е.Н. 2013
Доказательство (продолжение)
Покажем, что векторное равенство


выполняется тогда и только

тогда, когда


Умножим обе части равенства


скалярно на а1.

Получим

© Веденяпин Е.Н. 2013Доказательство (продолжение)Покажем, что векторное равенствовыполняется тогда и только тогда, когдаУмножим обе части равенства скалярно

Слайд 115© Веденяпин Е.Н. 2013
Доказательство (окончание)
Из условия ортогональности векторов следует, что


Отсюда

Аналогично, умножая

выражение


на а2, получаем

и т.д.

Таким образом, мы доказали, что векторы

линейно

независимы.
© Веденяпин Е.Н. 2013Доказательство (окончание)Из условия ортогональности векторов следует, чтоОтсюдаАналогично, умножая выражениена а2, получаем и т.д.Таким образом,

Слайд 1164.4. Процесс ортогонализации векторов 
4.4.1. Суть процесса ортогонализации

Рассмотрим процесс ортогонализации векторов.

Он состоит в том, что из заданных линейно независимых векторов


строятся

k попарно ортогональных векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013

4.4. Процесс ортогонализации векторов 4.4.1. Суть процесса ортогонализацииРассмотрим процесс ортогонализации векторов. Он состоит в том, что из заданных

Слайд 117© Веденяпин Е.Н. 2013
4.4.2. Первый шаг процедуры ортогонализации
Положим


Ищем вектор b2

в виде


Число 21 следует подобрать так, чтобы векторы b1 и

b2 были ортогональны, то есть



Отсюда
© Веденяпин Е.Н. 20134.4.2. Первый шаг процедуры ортогонализацииПоложимИщем вектор b2 в видеЧисло 21 следует подобрать так, чтобы

Слайд 118© Веденяпин Е.Н. 2013
4.4.3. Последующие шаги процедуры ортогонализации
Пусть первые m-1

попарно ортогональные и отличные от нуля векторы

уже построены.

Вектор bm

ищем в виде



Замечание. Вектор bm получаем из вектора аm исправлением его с помощью линейной комбинации уже построенных ранее векторов b1, b2, b3, …, bm-1.
© Веденяпин Е.Н. 20134.4.3. Последующие шаги процедуры ортогонализацииПусть первые m-1 попарно ортогональные и отличные от нуля векторыуже

Слайд 119© Веденяпин Е.Н. 2013
Последующие шаги процедуры ортогонализации (продолжение)
Коэффициенты m,1, m,2,

m,3, …, m,m-1 находим из условия ортогональности вектора bm к

векторам b1, b2, b3, …, bm-1.

© Веденяпин Е.Н. 2013Последующие шаги процедуры ортогонализации (продолжение)Коэффициенты m,1, m,2, m,3, …, m,m-1 находим из условия ортогональности

Слайд 120© Веденяпин Е.Н. 2013
Последующие шаги процедуры ортогонализации (продолжение)
Так как векторы

b1, b2, b3, …, bm-1 попарно ортогональны, то из полученных

равенств имеем
© Веденяпин Е.Н. 2013Последующие шаги процедуры ортогонализации (продолжение)Так как векторы b1, b2, b3, …, bm-1 попарно ортогональны,

Слайд 121© Веденяпин Е.Н. 2013
Последующие шаги процедуры ортогонализации (окончание)
Из полученной системы

уравнений находим коэффициенты m,1, m,2, m,3, …, m,m-1

© Веденяпин Е.Н. 2013Последующие шаги процедуры ортогонализации (окончание)Из полученной системы уравнений находим коэффициенты m,1, m,2, m,3, …,

Слайд 122© Веденяпин Е.Н. 2013
4.4.4. Неравенство нулю вектора bm
Докажем теперь, что

построенный вектор bm отличен от нуля.

Вектор bm есть линейная

комбинация векторов b1, b2, b3, …, bm-1.

Но вектор bm можно заменить линейной комбинацией вектора аm и векторов b1, b2, b3, …, bm-2 и т.д.

Окончательно получаем, что вектор bm записывается в виде


Отсюда следует, что bm 0.

В противном случае левая часть равенства была бы равна 0, что противоречит линейной независимости векторов (коэффициент при аm равен единице).
© Веденяпин Е.Н. 20134.4.4. Неравенство нулю вектора bmДокажем теперь, что построенный вектор bm отличен от нуля. Вектор

Слайд 123© Веденяпин Е.Н. 2013
4.4.5. Заключительные замечания
По векторам b1, b2, b3,

…, bm-1 и аm построен вектор bm.

Аналогично по векторам

b1, b2, b3, …, bm-1, bm и аm+1 можно построить вектор bm+1.

Продолжая этот процесс, можно по заданной системе n линейно независимых векторов в Еn построить систему n ненулевых ортогональных векторов.
© Веденяпин Е.Н. 20134.4.5. Заключительные замечанияПо векторам b1, b2, b3, …, bm-1 и аm построен вектор bm.

Слайд 1246.5. Построение ортонормированного базиса 
6.5.1. Теорема о существовании ортонормированного базиса

Во всяком

евклидовом пространстве Еn существуют ортонормированные базисы.
© Веденяпин Е.Н. 2013

6.5. Построение ортонормированного базиса 6.5.1. Теорема о существовании ортонормированного базисаВо всяком евклидовом пространстве Еn существуют ортонормированные базисы.© Веденяпин

Слайд 125© Веденяпин Е.Н. 2013
4.5.2. Пример построения ортонормированного базиса
По заданной в

Еn системе линейно независимых векторов





построить ортонормированный базис.


Положим

© Веденяпин Е.Н. 20134.5.2. Пример построения ортонормированного базисаПо заданной в Еn системе линейно независимых векторовпостроить ортонормированный базис.Положим

Слайд 126© Веденяпин Е.Н. 2013
Построение вектора b2
Вектор b2 будем искать в

виде



где




Тогда

© Веденяпин Е.Н. 2013Построение вектора b2Вектор b2 будем искать в видегдеТогда

Слайд 127© Веденяпин Е.Н. 2013
Построение вектора b3
Вектор b3 будем искать в

виде



где




Тогда

© Веденяпин Е.Н. 2013Построение вектора b3Вектор b3 будем искать в видегдеТогда

Слайд 128© Веденяпин Е.Н. 2013
Вычисление норм векторов b1, b2, b3
Находим нормы

векторов b1, b2, b3

© Веденяпин Е.Н. 2013Вычисление норм векторов b1, b2, b3Находим нормы векторов b1, b2, b3

Слайд 129© Веденяпин Е.Н. 2013
Построение ортонормированного базиса
Нормируем векторы b1, b2, b3.



Получим ортонормированный базис

© Веденяпин Е.Н. 2013Построение ортонормированного базисаНормируем векторы b1, b2, b3. Получим ортонормированный базис

Слайд 130© Веденяпин Е.Н. 2013
4.5.3. Координатное представление скалярного произведения
Пусть

– произвольный

базис пространства Еn.

Пусть имеются векторы




Скалярное произведение векторов х и у

имеет вид
© Веденяпин Е.Н. 20134.5.3. Координатное представление скалярного произведенияПусть – произвольный базис пространства Еn.Пусть имеются векторыСкалярное произведение векторов

Слайд 131© Веденяпин Е.Н. 2013
Скалярное произведение в ортонормированном базисе
Пусть

– ортонормированный базис.

Следовательно,



Тогда

скалярное произведение векторов представляется в виде

© Веденяпин Е.Н. 2013Скалярное произведение в ортонормированном базисеПусть– ортонормированный базис.Следовательно,Тогда скалярное произведение векторов представляется в виде

Слайд 132© Веденяпин Е.Н. 2013
Обратное утверждение
Если в базисе

скалярное произведение векторов

х и у равно



то этот базис ортонормированный.

Если в некотором базисе

скалярное произведение


то этот базис ортонормированный.
© Веденяпин Е.Н. 2013Обратное утверждениеЕсли в базисе скалярное произведение векторов х и у равното этот базис ортонормированный.Если

Слайд 133© Веденяпин Е.Н. 2013
4.5.4. Ортогональная проекция вектора
Пусть

– ортонормированный базис

в Еn и


Умножив обе части последнего равенства скалярно на

аi, получим


Видно, что i-я координата вектора в ортонормированном базисе равна скалярному произведению вектора х на единичный вектор аi.

Скалярное произведение (х, аi) называется ортогональной проекцией вектора х на вектор аi.

ВЫВОД. Координаты вектора в ортонормированном базисе – это его проекции на базисные векторы.
© Веденяпин Е.Н. 20134.5.4. Ортогональная проекция вектораПусть – ортонормированный базис в Еn и Умножив обе части последнего

Слайд 134© Веденяпин Е.Н. 2013
6.5.5. Расстояние между векторами
Расстояние между векторами х

и у определяется в пространстве Еn как норма вектора (х-

у)
© Веденяпин Е.Н. 20136.5.5. Расстояние между векторамиРасстояние между векторами х и у определяется в пространстве Еn как

Слайд 135© Веденяпин Е.Н. 2013
Свойства расстояния
Из определения расстояния следует, что:

© Веденяпин Е.Н. 2013Свойства расстоянияИз определения расстояния следует, что:

Слайд 136© Веденяпин Е.Н. 2013
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

© Веденяпин Е.Н. 2013СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Похожие презентации

Законотворческий процесс в Российской Федерации Законотворческий процесс в Российской Федерации 261
ТЕМА: СРОКИ. ИСКОВАЯ ДАВНОСТЬ ТЕМА: СРОКИ. ИСКОВАЯ ДАВНОСТЬ 619
Безопасность дорожного движения в системе образования Орловской области Безопасность дорожного движения в системе образования Орловской области 195
Планируем работу на следующий учебный год. Проектно-исследовательская Планируем работу на следующий учебный год. Проектно-исследовательская 169
Франция – настоящая жемчужина Европы! Живописные города и деревеньки, старинные Франция – настоящая жемчужина Европы! Живописные города и деревеньки, старинные 157
Нарушение свертывающей системы.Тромбоэмболия. Причины, клиника и ее лечение Нарушение свертывающей системы.Тромбоэмболия. Причины, клиника и ее лечение 238
Авторская песня: прошлое и настоящее Авторская песня: прошлое и настоящее 247
Кафедра управления и экономики фармации Учет поступления и расхода товара в Кафедра управления и экономики фармации Учет поступления и расхода товара в 213
Текст надписи Интеллектуальная в икторина Ко дню Космонавтики 12 апреля Текст надписи Интеллектуальная в икторина Ко дню Космонавтики 12 апреля 195
2015, June 26 Realism in science fiction 2015, June 26 Realism in science fiction 199
Немецкая классическая философия (1) Иммануил Кант Немецкая классическая философия (1) Иммануил Кант 254
Negative prefixes ( отрицательные приставки) Negative prefixes ( отрицательные приставки) 261
Тема 2. ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТОМ 1 1. Группа процессов инициирования Тема 2. ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТОМ 1 1. Группа процессов инициирования 226
Тема урока : Пищеварение в ротовой полости Тема урока : Пищеварение в ротовой полости 235
Электронный бизнес Электронный бизнес 761
Состав, задачи и организация деятельности службы медицины катастроф Состав, задачи и организация деятельности службы медицины катастроф 699
Высказывания Высказывания 343
Слишком много на свете людей, которым никто не помог пробудиться. А. Экзюпери Слишком много на свете людей, которым никто не помог пробудиться. А. Экзюпери 192
Проведение сестринского ухода в педиатрии Проведение сестринского ухода в педиатрии 190
Система средств обучения химии Система средств обучения химии 314

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика