Математическая модель

с учетом сопротивления среды

тяжести, направленная вертикально вниз
Fс - сила сопротивления движению, направленная против

движения

меньше плотности тела, но плотность воды следует учесть)
Сила сопротивления

среды
Зависит от плотности среды и зависит от скорости, но…
Очевидно, что на предмет, падающий с большой высоты, действует Fс увеличивающаяся по мере роста скорости v

пренебрегаем

или газа
F пропорциональна V
С

ростом V – возрастает лобовое сопротивление (парусный эффект)
F пропорциональна V

F = k ∙ v + k ∙ v

c

c

c

2

c

1

2

2

Fс

Проектируем данное векторное уравнение на ось Y

Fс (t)- mg k1 v(t) + k2 v(t) - mg
a(t) = =
m m

Ф1*

2

– vi

t


vi+1 = vi + ai t Из Ф1* выразим ai
k1 v(t) + k2 v(t) – mg
m

Δ

Δ

t – малый шаг изменения времени

a =

Δ

Δ

t

vi+1 = vi +

2

+ vi t - координата y,

где i = 0,1,2,…
По условию задачи падение происходит с высоты Н с нулевой начальной скоростью =>
v(0) = v0 = 0 y(0) = y0 = Н

Δ

v0 = 0 y(0) = y0 = Н

Рекуррентные формулы
k1 v(t) + k2 v(t) – mg
m

yi+1 = yi + vi t

vi+1 = vi +

Δ

t

Δ

2

учета
силы сопротивления
vi+1=v1+
k1 –коэффициент вязкого трения
k1vi+k2 vi2-mg

m

k2 – коэффициент лобового сопротивления

yi+1=yi + vi t

а = -g

v

y=y0-gt2/2

v =-gt

y=H-gt2/2

0

y0

Δ

a(t)=

k1vi+k2 vi2-mg
m

Δ

t

сопротивления Fc =>

Fc – mg уменьшается.
Когда Fc = mg, скорость выйдет на постоянное предельное значение v*.
Находим из уравнения
k1 v + k2 v – mg = 0

2

вязкости среды (μ)
k1 = с1 ∙μ∙ b
с1 – определяется

формой тела
b – характерный размер тела в направлении,
│ потоку, обтекающего газа или жидкости.
Для тела сферической формы k1 = 6π ∙ μ ∙ r

Полусфера с2 = 1,1

Диск с2 = 0,55

среды ρ
Начальная скорость движения тела v0
Характерный размер тела b в

направлении перпендикулярном потоку ( δ )
Параметры с1 и с2 (отражающие форму тела)

t

k1vi+k2 vi2-mg
m
vi+1=vi+
Δ
Δ

t

радиусом 10 см сравняются силы вязкого трения и лобового сопротивления.

в воде (μ = 1,002 н∙с/м ρ= 1000 кг/м

);
в глицерине (μ = 1480 н∙с/м ρ= 1260 кг/м ).

2

3

3

2

учетом архимедовой силы.

10 м/с и на высоте 50 м раскрывает парашют, площадь

которого 55 м2. Коэффициент сопротивления парашюта равен 0,9. Выполните следующие задания:
постройте графики изменения скорости и высоты полета в течение первых 4 секунд;
определите, с какой скоростью приземлится парашютист?
сравните результаты моделирования с установившимся значением скорости, вычисленным теоретически.