Метод наименьших квадратов

биологических науках, основным методом исследования являются наблюдения, опыты эксперименты. В

связи с этим возникает необходимость в нахождении эмпирических формул, составленных на основании опыта и наблюдения. Одним из лучших методов получения таких формул является метод наименьших квадратов, который является эффективным приложением теории экстремумов функции нескольких переменных.

величины X и Y .
Значения
и
будем считать также, как

декартовые

координаты точек на координатной плоскости XOY .
Требуется найти аналитическую зависимость

наилучшим образом отображающую опытную зависимость.

Выберем “подходящую” функцию , где
а,b… - параметры, так, чтобы соответствующие кривые

для различных a, b, … проходили вблизи точек
из опыта .
Найдём такой единственный набор значений параметров, чтобы соответствующая кривая распола- галась ближе всех других к точкам из опыта ,
т.е. чтобы ошибки выбора формулы - отклонения значений Yi из опыта

,

,

из
Формулы были наименьшими по абсолютной

величине.
Для этого составляется сумма
,

где суммируются квадраты указанных ошибок выбора формулы.
Тогда ошибки выбора будет наименьшими (по абсолютной величине), если наименьшей будет сумма S .
Следовательно, нужно решить задачу на экстремум функции S (a, b, …): найти минимум функции нескольких переменных a, b, … .

системы даст те значения параметров a, b, …

, при которых функция
будет наилучшей. (Можно доказать, что необходимое условие экстремума при решении таких задач будет и достаточным).

(*)

Найти подходящую эмпирическую формулу

Нанесем на координатную плоскость XOY точки

Все точки лежат вблизи некоторой прямой.

из опыта:

1

3

5

7

1

2

3

6

y

x

, наиболее точно описывающую опытную зависимость.
Для такой зависимости система (*) имеет вид:






В нашем случае n=4 и система(**) перепишется :

(**)

(***)

пустые клетки:
Найденные суммы подставляем в систему (***):

линейной функции:

По двум точкам строим эту
прямую на координатной
плоскости , данной выше:

выбора формулы достаточно малы (могут быть порядка ошибок измерения).

котором в каждый момент времени путь в 2 раза больше

скорости движения.
Путь S(f) – путь, пройденный к моменту t
V(f)- скорость движения

, тогда S=2S’

Решение этого дифференциального уравнения, в которое входит производная, дает искомый закон движения S(t) .

различных порядков, называются обыкновенным дифференциальным уравнением.
* Порядком дифференциального уравнения

называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

-первого порядка

-второго порядка

-третьего порядка и т.д.

, удовлетворяющая этому уравнению.
Нахождение этого решения называется

интегрированием дифференциального уравнения.
*Если решение уравнения получено в неявном виде
, то оно называется интегралом уравнения.

*Задача Коши.
Задача Коши для уравнения


ставится таким образом: среди всех решений уравнения (1)

(1)

, удовлетворяющее системе следующих условий:
(2)
где
- заданные числа
Эти

условия (2) называются начальными условиями, а соответствующее решение
y = y(x) - частным решением уравнения (1).

,

n
произвольных постоянных
Частные решения уравнения (1) также могут быть получены

из общего решения при некоторых числовых значениях констант

Пример.

1.Показать что функция

есть решение

уравнения

Найдем y’’:

уравнения.
2.Общий интеграл дифференциального уравнения

имеет вид
(*)
Найти его

частный интеграл, удовлетворяющий начальному условию

Найдем значение С, соответствующее искомому частному интегралу, подставив в общий интеграл (*) заданные начальные условия.

У нас

, тогда

, (с – const)

уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Такие уравнения имеют вид:
Характерной

чертой этих уравнений является то, что множители, стоящие перед dx и dy , зависят только от одной переменной.

, для чего поделим обе части уравнения на произведение
Переменные

разделены. Общий интеграл получим почленным интегрированием левой и правой частей уравнения: