НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

формула включений-исключений

единое целое.
!

C, …). Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами

и обозначаются строчными латинскими буквами.

круга считаются элементами множества.
x ∈ M
x ∉ M

что P есть подмножество М, и записывают:
P ⊂ М
Само множество

М является своим подмножеством: М ⊂ М

Пустое множество является подмножеством М: ∅ ⊂ М

Универсальное множество содержит все возможные подмножества одной приро-ды. Обозначается буквой U.

P ⊂ М

= ∅
P подмножество множества М: М ∩ P = P
Пересечение множеств

М и М: М ∩ М = М

X ∩ Y

Пересечение множеств

Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов. Обозначается X ∩ Y.

!

X

Y

X ∩ Y

мно-жество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее

никаких других элементов (X ∪ Y).

!

M ∪ ∅ = М

P подмножество множества М: М ∪ P = М

Объединение множеств М и М: М ∪ М = М

{Ш,К,О,Л,А}
Y = {У,Р,О,К}
X ∩ Y = {К,О}
X
Y
Ш
Л
А
К
О
У
Р
Ш
Л
А
К
О
У
Р
?
X = {Ш,К,О,Л,А}
Y =

{У,Р,О,К}

до М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые

не вошли в P. Обозначается или P ’.

!

Дополнение М до М: М ’ = ∅

Дополнение пустого множества до М: ∅ ’ = М

Дополнение множества М до универсального: M ∪ M ’ = U

P ∪ = M

X обозначается |X|.
!
Мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества.
Два множества

являются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

множеств, если известны их мощности и мощности всех их пересечений

(объединений).

!

множеств, если известны их мощности и мощности всех их пересечений

(объединений).

!

все они увлекаются сноубордом, коньками или лыжами. При этом многие

из них занимаются несколькими видами спорта. Всего кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на лыжах — 28, на коньках — 42. Умением кататься на лыжах и сноубор-де могут похвастаться 8 ребят, на лыжах и коньках — 10, на сноуборде и коньках — 5, но только трое из них владеют всеми тремя видами спорта. Сколько ребят не умеет кататься ни на сноуборде, ни на лыжах, ни на коньках?

Решение:

|S∪L∪K| = |S| + |L| + |K| - |S∩L| - |S∩K| - |L∩K| + |S∩L∩K|=

= 30

Обозначим через S, L и K множество сноубордистов, лыж-ников и любителей коньков соответственно. Тогда:

Ответ: 20 старшеклассников

+ 28

+ 42

- 8

- 5

+ 3

=80

=> 100 - 80 = 20

как единое целое.
Пересечением двух множеств X и Y называется множество

их общих элементов.
Объединением двух множеств X и Y называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов.
Пусть множество P является подмножеством множест- ва М. Дополнением P до М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые не вошли в P.
Мощностью конечного множества называется число его элементов.

включительно делятся на 3 или на 5, или на 7?
[1000:3]

= 333 чисел делятся на 3
[1000:5] = 200 чисел делятся на 5
[1000:7] = 142 числа делятся на 7
[1000:(3·5)] = 66 чисел делятся на 3 и 5
[1000:(3·7)] = 47 чисел делятся на 3 и 7
[1000:(5·7)] = 28 чисел делятся на 5 и 7
[1000:(3·5·7)] = 9 чисел делятся на 3, 5 и 7
По формуле включений-исключений |X∪Y∪Z| = |X| + |Y| + |Z| - |X∩Y| - |X∩Z| - |Y∩Z| + |X∩Y∩Z|
получаем: 333 + 200 +142 – 66 – 47 – 28 + 9 = 543

Ответ: 543 числа

Решение:

∪ 6
Ответ: А ∪ В
2) 2 ∪ 5
Ответ: А

∩ В

3) 5

Ответ: А ∩ В ∩ С

4) 2 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6

Ответ: (А ∩ В) ∪ (А ∩ С) ∪ (В ∩ С)

5) 1 ∪ 2 ∪ 3

6) 8

Вопросы и задания

2. Пусть A, B и C - некоторые множества, обозначенные кру-гами, U - универсальное мно-жество. С помощью операций объединения, пересечения и дополнения до универсального множества выразите через A, B и C следующие множества:

80 - испанский, 75 - немецкий. Каждый владеет хотя бы

одним языком. Сколько человек знают все три языка? Укажите множество решений.

Решение (один из способов):

1. 100 - 85 = 15 (чел.) – не знают английского

Ответ: от 40 до 70 человек включительно

2. 100 - 80 = 20 (чел.) – не знают испанского

3. 100 - 75 = 25 (чел.) – не знают немецкого

4. 15 + 20 +25 = 60 (чел.) – могут знать два языка

5. 100 - 60 = 40 (чел.) – знают три языка

4. (15 + 20 +25) : 2 = 30 (чел.) – могут знать только один язык

5. 100 - 30 = 70 (чел.) – знают три языка

ИЛИ