Нормальное распределение

Содержание

1. Нормальное распределение
2. Если все ошибки
3. ЛЕКЦИЯ 2«ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН»
4. 1. Средние квадратические ошибки функций измеренных величин.2.
5. 1. Средние квадратические ошибки функций измеренных величин.Часто
6. Подставим вместо x точное значение X, получим
7. При n измерениях получим∆u1=k∆x1,∆u2=k∆x2,... ... ...∆un=k∆xn.
8. Возведем левые и правые части в квадрат, результаты сложим и разделим на n, получим
9. По определению средней квадратической ошибки , .Отсюда
10. Рассмотрим функцию с двумя переменными.
11. При n измерениях получим ∆u1= k1∆x1+ k2∆y1,∆u2=
12. По свойству случайных ошибок В результате получим
13. Аналогичными рассуждениями можно обосновать формулу для оценки
14. Для алгебраической суммы u= ± x1 ± x2±
15. В случае равноточных измерений, когда m1=m2= …=
16. Функция общего вида u=f(x1, x2, … xn). (11) Найдем полный дифференциал функции
17. Из математики известно, что аргументы
18. Заменяя их через k1, k2, … kn
19. 2. Среднее арифметическое значение и его свойства.
20. Для упрощения вычислений обычно вводят приближенное значение
21. Среднее арифметическое из результатов
22. Сложим и разделим на n. Получим
23. 2. Если среднее арифметическое образовано из результатов
24. Для нахождения средней квадратической ошибки среднего арифметического, которое запишем в виде применим формулу (7):
25. Поскольку измерения равноточныеm1 = m2 = …
26. 3. Поправки и их свойства. Выражение средней
27. Если арифметическая средина получена из n измерений,
28. Это одно из свойств поправок, которое используется
29. Указанные поправки обладают еще одним важным свойством
30. По вероятнейшим поправкам можно определить среднюю квадратическую
31. Обозначим
32. Возведем левые и правые части в квадрат,
33. Отсюда nm2=m2 +[v2], m2(n–1)=[v2],
34. Вычисление величины [v2] контролируется по формулам
35. 4. Определение средней квадратичеокой ошибки одного измерения
36. Пусть имеется ряд двойных равноточных измерений. Найдем их разности
37. Разность между двумя измерениями одной
38. Величина d есть функция двух равноточных измерений,
39. При наличии систематических ошибок вычисляют систематическую ошибку
40. Величину можно рассматривать как
41. Контроль:
42. Спасибо за внимание!
43. Скачать презентанцию

Если все ошибки расположить в ряд по возрастанию абсолютных значений, то ошибка оказавшаяся в середине ряда будет вероятной. Со средней квадратической ошибкой она связана соотношением

Главная
Разное
Нормальное распределение

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Для оценки точности иногда пользуются средней ошибкой v и вероятной

ошибкой r.
Средняя ошибка вычисляется по формуле

(15)

При нормальном распределении средняя ошибка v связана со средней квадратичеcкой ошибкой m примерным соотношением

(16)

Слайд 2 Если все ошибки расположить в ряд

по возрастанию абсолютных значений, то ошибка оказавшаяся в середине ряда

будет вероятной.
Со средней квадратической ошибкой она связана соотношением

(17)

Если все ошибки расположить в ряд по возрастанию абсолютных значений, то ошибка оказавшаяся

Слайд 3ЛЕКЦИЯ 2
«ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН»

Слайд 41. Средние квадратические ошибки функций измеренных величин.
2. Среднее арифметическое значение

и его свойства. Средняя квадратическая ошибка арифметического среднего.
3. Поправки и

их свойства. Выражение средней квадратической ошибки через поправки. Средняя квадратическая ошибка округления.
4. Определение средней квадратической ошибки одного измерения по разностям двойных равноточных измерений.

1. Средние квадратические ошибки функций измеренных величин.2. Среднее арифметическое значение и его свойства. Средняя квадратическая ошибка арифметического

Слайд 5
1. Средние квадратические ошибки функций измеренных величин.

Часто искомые величины получают

путем вычислений по измеренным величинам, поэтому возникает необходимость оценивать точность

функций измеренных величин.
Возьмем линейную функцию, полагая, что все измерения независимы (ошибки измерений не коррелированы)
u= kx+c, (1)
где k и с – постоянные величины;
x – измеренное значение аргумента;
u – вычисленное значение функции.

1. Средние квадратические ошибки функций измеренных величин.Часто искомые величины получают путем вычислений по измеренным величинам, поэтому возникает

Слайд 6Подставим вместо x точное значение X, получим точное значение функции

U=

kX+с.

Найдем истинную ошибку функции

и–U =k(x–X),

∆u=k∆x.

Слайд 7При n измерениях получим

∆u1=k∆x1,
∆u2=k∆x2,
... ... ...
∆un=k∆xn.

Слайд 8Возведем левые и правые части в квадрат, результаты сложим и

разделим на n, получим

Слайд 9По определению средней квадратической ошибки

,
.

Отсюда

m2u=k2m2x,

mu=kmx. (2)

Слайд 10 Рассмотрим функцию с двумя переменными.

u=

k1x+ k2y+с. (3) Рассуждая аналогично получим U= k1X+ k2Y+с, ∆u= k1∆x+ k2∆y.

Слайд 11При n измерениях получим
∆u1= k1∆x1+ k2∆y1,
∆u2= k1∆x2+ k2∆y2,
...

... ... … …
∆un =k1∆xn+ k2∆yn,

При n измерениях получим ∆u1= k1∆x1+ k2∆y1,∆u2= k1∆x2+ k2∆y2,... ... ... … … ∆un =k1∆xn+

Слайд 12По свойству случайных ошибок

В результате получим

m2u=k21m2x +k22m2y . (4)

Слайд 13Аналогичными рассуждениями можно обосновать формулу для оценки точности функции многих

переменных

u= k1x1+ k2x2+…+ knxn +с. (5)

∆u=

k1∆x1+ k2∆x2+…+ kn∆xn +с. (6)

m2u=k21m21 +k22m22+…+ k2nm2n . (7)

Аналогичными рассуждениями можно обосновать формулу для оценки точности функции многих переменных u= k1x1+ k2x2+…+ knxn +с.

Слайд 14Для алгебраической суммы
u= ± x1 ± x2± … ± xn

+ c, (8)

формула (7) примет вид
m2u = m12 + m22+

...+mn2. (9)

Для алгебраической суммы u= ± x1 ± x2± … ± xn + c, (8) формула (7) примет вид m2u =

Слайд 15В случае равноточных измерений, когда m1=m2= …= mn = m,

получим

(10)

т.е. средняя квадратическая ошибка алгебраической суммы n равноточных слагаемых в раз больше средней квадратической ошибки одного слагаемого.

Слайд 16Функция общего вида
u=f(x1, x2, … xn). (11)

Найдем полный дифференциал функции

Слайд 17 Из математики известно, что аргументы dx и

Δx равнозначны и при малых значениях Δx можно принять

du ≈ Δu. Поэтому

Здесь частные производные, и т.д.
представляют собой постоянные коэффициенты, которые можно вычислить по измеренным значениям аргументов.

Из математики известно, что аргументы dx и Δx равнозначны и при малых значениях

Слайд 18Заменяя их через k1, k2, … kn получим равенство вида

(6) и по аналогии c (7) найдем

(12)

Эта формула является основой, другие, из приведенных выше, можно рассматривать как частный случай.

Слайд 192. Среднее арифметическое значение и его свойства. Средняя квадратическая ошибка

арифметического среднего.

Если одна и та же величина измерена с одинаковой

точностью несколько раз, то за окончательное значение измеренной величины берут среднее арифметическое, определяемое по формуле

(13)

2. Среднее арифметическое значение и его свойства. Средняя квадратическая ошибка арифметического среднего.Если одна и та же величина

Слайд 20Для упрощения вычислений обычно вводят приближенное значение l0, вычисляют остатки

εi=li–l0 и пользуются формулой

(14)

Формула (14) легко получается из (13) путем замены li=l0+εi.

Слайд 21Среднее арифметическое из результатов равноточных измерений обладает

следующими свойствами.
1. С увеличением числа измерений n арифмети-ческая средина

имеет тенденцию стремиться к точному значению величины X.
Доказательство. Пусть сделано n измерений. Тогда
Δ1=l1–X,
Δ2=l2–X,
………..
Δn=ln–X.

Среднее арифметическое из результатов равноточных измерений обладает следующими свойствами. 1. С увеличением числа измерений

Слайд 22Сложим и разделим на n. Получим

или

По свойству случайных ошибок

Следовательно, L стремится к Х.

Слайд 232. Если среднее арифметическое образовано из результатов измерений свободных от

систематических ошибок, то и само оно не содержит их.
И

наоборот. При отсутствии система-тических ошибок математическое ожидание среднего арифметического равно точному значению измеренной величины.

2. Если среднее арифметическое образовано из результатов измерений свободных от систематических ошибок, то и само оно не

Слайд 24Для нахождения средней квадратической ошибки среднего арифметического, которое запишем в

виде

применим формулу (7):

Слайд 25Поскольку измерения равноточные
m1 = m2 = … = mn= m.
Следовательно

(15)

Таким образом, средняя квадратическая ошибка среднего
арифметического из n равноточных измерений в раз меньше ошибки одного измерения.

Слайд 263. Поправки и их свойства. Выражение средней квадратической ошибки через

поправки. Средняя квадратичеcкая ошибка округления.

Поправка представляет собой разность между вероятнейшим

значением величины (средним арифметическим) и результатом ее измерения

vi = L – li. (16)

3. Поправки и их свойства. Выражение средней квадратической ошибки через поправки. Средняя квадратичеcкая ошибка округления.Поправка представляет собой

Слайд 27Если арифметическая средина получена из n измерений, то можно записать:

v1 =L–l1,
v2 =L–l2,
…

… …
vn =L–ln,
Сложим эти равенства.
[v]=nL–[l]
Подставив , получим
[v]=0. (17)

Слайд 28Это одно из свойств поправок, которое используется для контроля вычисления

значения L и самих поправок v. Если арифметическая средина округлена

и ошибка округления равна w, то

[v] = n w. (18)

Величина |w|≤0,5 единицы последнего разряда L, поэтому |[v]|≤0,5n в единицах того же разряда.

Это одно из свойств поправок, которое используется для контроля вычисления значения L и самих поправок v. Если

Слайд 29Указанные поправки обладают еще одним важным свойством

[v2] = min, (19)

т.е. сумма квадратов отклонений

результатов измерений от среднего арифметического всегда меньше, чем от любого другого числа.

Указанные поправки обладают еще одним важным свойством [v2] = min, (19) т.е.

Слайд 30По вероятнейшим поправкам можно определить среднюю квадратическую ошибку.
Пусть некоторая

величина X измерена n раз. Из результатов измерений получено среднее

арифметическое L.
Известно, что

Отсюда

По вероятнейшим поправкам можно определить среднюю квадратическую ошибку. Пусть некоторая величина X измерена n раз. Из результатов

Слайд 31Обозначим

(ошибка среднего арифметического). Тогда

Δi = δ –

vi.
При n измерениях

… … … ………

Обозначим (ошибка среднего арифметического). Тогда Δi

Слайд 32Возведем левые и правые части в квадрат, результаты сложим и

разделим на n

Заменим истинную ошибку среднего арифметического средней квадратической

и учитывая

то, что [v]=0, получим

Возведем левые и правые части в квадрат, результаты сложим и разделим на nЗаменим истинную ошибку среднего арифметического

Слайд 33Отсюда nm2=m2 +[v2],
m2(n–1)=[v2],

. (20)

По этой формуле вычисляется средняя квадратическая ошибка одного измерения. Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического найдется по формуле

(21)

Слайд 34Вычисление величины [v2] контролируется по формулам

[v2] = – [v l ] , (22)

или [v2] = – [v ε ]. (23)
Если среднее арифметическое получено с округлением, то для контроля пользуются равенством
[v2] = – [v ε ] + (L–l0)[v]. (24)

Средняя квадратическая ошибка округления чисел определяется по формуле
(25)

где α – предельная ошибка округления, равная половине единицы оставляемой цифры.

Вычисление величины [v2] контролируется по формулам [v2] = – [v l ] ,

Слайд 354. Определение средней квадратичеокой ошибки одного измерения по разностям двойных

равноточных измерений.

В целях контроля и повышения точности широко применяют двойные

измерения. Например, превышения определяют дважды по черной и красной сторонам рейки, линии измеряют вперед и обратно. При наличии двойных измерений можно сделать оценку точности.

4. Определение средней квадратичеокой ошибки одного измерения по разностям двойных равноточных измерений.В целях контроля и повышения точности

Слайд 36
Пусть имеется ряд двойных равноточных измерений. Найдем

их разности

Слайд 37 Разность между двумя измерениями одной и той же

величины теоретически должна равняться нулю (если бы измерения были точными).

Поэтому величину d можно рассматривать как истинную ошибку, а среднюю квадратическую ошибку разности двойных измерений вычислить по формуле

(26)

Разность между двумя измерениями одной и той же величины теоретически должна равняться нулю (если бы

Слайд 38Величина d есть функция двух равноточных измерений, поэтому можно записать

где m – средняя квадратическая ошибка одного измерения.
Отсюда

Подставляя

значение в (26), получим

(27)

Формула (27) справедлива для случая, когда в разностях нет систематических ошибок.

Величина d есть функция двух равноточных измерений, поэтому можно записать где m – средняя квадратическая ошибка одного

Слайд 39При наличии систематических ошибок вычисляют систематическую ошибку Θ по формуле

среднего арифметического

(28)

Затем из каждой разности исключают систематическую ошибку по формуле

(29)

Слайд 40Величину можно рассматривать как поправку, но с

другим знаком. Заменяя в ф.(20) v на ,

получим,

Учитывая, что , окончательно будем иметь

(30)

Слайд 41Контроль:

[

] = 0, (31)

[ 2] = [d ]. (32)

Систематическую ошибку можно не исключать и делать оценку по формуле (27), если выполняется условие

|[d]|≤0,25 [|d|]. (33)

Слайд 42Спасибо за внимание!

Скачать презентацию

Разделы презентаций