Нормальный закон распределения и его применение

тем, что крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко,

а значения, близкие к средней величине – достаточно часто.
Это распределение следует закону, открытому тремя учеными в разное время: Муавром в 1733 г. в Англии, Гауссом в 1809 г. в Германии и Лапласом в 1812 г. во Франции.
Нормальным такое распределение называется потому, что оно очень часто встречалось в естественно-научных исследованиях и казалось "нормой" всякого массового случайного проявления признаков.
Оно применимо только для метрических данных!
Это распределение описывается формулой:

где f отн. – относительные частоты появления каждого конкретного значения случайной величины хi. Предполагается, что переменная хi, может принимать бесконечно большие и бесконечно малые значения, количество измерений бесконечно.

среднего арифметического значения).







Характерное свойство нормального распределения состоит в том, что

68,26% из всех его наблюдений всегда лежат в диапазоне «плюс - минус» одно стандартное отклонение от среднего арифметического (какова бы ни была величина стандартного отклонения). 95,44% - в пределах двух стандартных отклонений и 99,72% - в пределах трех стандартных отклонений.

распределения результативного признака можно проверить путем расчета показателей асимметрии и

эксцесса и сопоставления их с критическими значениями (формулы Н.А. Плохинского и Е.И. Пустыльника).
3. Нормальным распределением может быть только распределение с числом наблюдений не менее 30 (при наличии и других условий соответствий).

равна 0.
Если чаще встречаются значения меньше среднего, то говорят

о левосторонней, или положительной асимметрии (As > 0).
Если же чаще встречаются значения больше среднего, то асимметрия – правосторонняя, или отрицательная (As<0).
Чем больше отклонение от нуля, тем больше асимметрия.

Островершинное распределение характеризуется положительным эксцессом (Ех > 0)
Плосковершинное - отрицательным

(Ех < 0)
«Средневершинное» (нормальное) распределение имеет нулевой эксцесс (Ех = 0).

и более низкие, и более высокие, то такое распределение характеризуется

отрицательным эксцессом и в центре распределения может образоваться впадина, превращающая его в двувершинное:

алгоритму:
1) рассчитаем критические значения показателей асимметрии и эксцесса по формулам

Е.И. Пустыльника и сопоставим с ними эмпирические значения;
2) если эмпирические значения показателей окажутся ниже критических, сделаем вывод о том, что распределение признака не отличается от нормального.
Формулы для определения критических значений асимметрии и эксцесса (формулы Е.И. Пустыльника):








Для обработки данных понадобятся такие последовательные шаги: вычисление Мх, σ, A, E и подсчет п.

|А||Е|<Екр}

со средним значением Мх и стандартным показателем σ можно преобразовать

в другое множество, среднее значение которого равно 0, а стандартное отклонение - равно1.
Необходимость в таком преобразовании возникает когда требуется сопоставить значения показателей, имеющих разную размеренность, т.е. измеренных по шкалам с различными единицами измерения (баллы, секунды, см и т.д.).
Такое преобразование называется стандартизация или нормирование и позволяет получить стандартизированные или нормированные значения исходных данных.

по следующим методикам (логического мышления, воображения, объема памяти, общительность) ученик

получил следующие результаты (см. таблицу). Рассчитайте Т-баллы данного ученика и постройте его индивидуально-психологический профиль.

значения, относящиеся к статистической норме, то есть те значения, которые

включены в так называемый 95%-ный доверительный интервал. Знание Мх и σ можно использовать для выведения статистической нормы.
Обязательные для этой процедуры условия: соответствие распределения нормальному и п ≥ 30.
Например, необходимо определить границы нормы для российской выборки у переведенного недавно с английского языка теста. После перевода и адаптации мы проводим исследование на оптантах, чьим родным языком является русский.
По окончании обработки результатов получаем: п = 80, Мх = 30, σ = 5,9.
Границы статистической нормы для теста лежат в диапазоне Мх ± 2 σ, то есть 30 ±11,8. Таким образом, верхняя граница нормы = 18, нижняя = 42.

подгруппа образуется из испытуемых, имеющих значение показателя в пределах Мх

± σ. Во вторую подгруппу выделяются испытуемые со значениями показателя, превышающего Мх + σ. Третью группу образуют испытуемые, у которых значение показателя ниже Мх - σ.
Значения показателей центральной подгруппы испытуемых рассматривают в качестве нормы; второй и третье подгрупп – соответственно, выше и ниже нормы.

принимает значения от 0 до 100 и мы стандартизируем его

в стены, то явно теряем слишком много информации, т.к. внутри одного стандартного интервала может находиться достаточно много сырых баллов. Это неприемлемо.
Поэтому, при большом диапазоне сырых баллов используются Т-баллы. В тестах интеллекта традиционно используется IQ, если интервал значений сырых баллов невелик, то можно использовать стены.

нормализация, а преобразованные исходные данные называются нормализованными.
Нормализованные значения могут быть

найдены с помощью таблиц, в которых приводится процент случаев (процентили) разных отклонений в единицах σ от среднего значения для нормальной кривой.
Алгоритм: сначала определяется процент испытуемых в исследуемой выборке с тем же или более высоким исходным значением показателя (вычисляются соответствующие кумуляты распределения - распределение признака в вариационном ряду по накопленным частотам). Затем этот процент отыскивается в таблице нормального распределения частот и по нему находится соответствующее значение нормализованного стандартного показателя. Далее распределению этих нормализованных значений путем соответствующего линейного преобразования можно придать любую удобную для последующего анализа форму.