Обработка экспериментальных данных

и y, т.е. функцию нельзя записать в виде y=f(x). В

некоторых случаях эта зависимость известна, но вычисления значений функций громоздко. В этих случаях прибегают к табличному способу задания функций. Таблица представляет собой набор значений функций для последующих значений аргументов:
x x0 x1 … xn
y y0 y1 … yn

Эти значения либо вычислены, либо получены экспериментально.

приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией Y(x) так, чтобы отклонения (в

некотором смысле) Y(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция Y(x) называется аппроксимирующей.

значениями:
y0=f(x0), y1=f(x1), …, yn=f(xn) в точках x0, x1, …, xn,

которые назовем узлами интерполяции. Предполагается, что при . Требуется найти аналитическое выражение Y(x) функции, заданной таблично, которая в узлах интерполяции совпадает со значениями заданной функции, т.е.
y0=Y(x0), y1=Y(x1), …, yn=Y(xn).
Процесс вычисления значений функции в точках x, отличных от узлов интерполяции, называют интерполированием функции f(x).

отыскания значения функции в точке x называется экстраполированием.
Геометрически задача

интерполирования для функции одной переменой y=f(x) означает построение кривой, проходящей через точки плоскости с координатами
(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn)

x, необходимо вычислить y=f(x).
На отрезке [xi-1, xi] заменим дугу кривой

y=f(x) стягивающей её хордой

x0

x0

xi

xn

xi-1

x

x

y

Y=f(x)

хорда

(Xi-1,yi-1)

(Xi,yi)

y0, Ln(x1)= y1, …, Ln(xn)= yn.
Задача имеет решение, если

степень многочлена Ln(x) будет не выше n.

«близко» от заданных точек. Пусть функция задана таблицей:



Нужно найти эмпирическую

зависимость y=f(x), значение которых при x=xi мало отличались бы от опытных данных yi. График функции y=f(x), вообще говоря, не проходит через точки (xi, yi), как в случае интерполяции, что приводит к сглаживанию экспериментальных данных.

зависимости;
2) выбор наилучших значений параметров, входящих в формулу.
Пусть тип эмпирической

зависимости выбран, и ее можно записать в виде: , где f – известная функция; - неизвестные постоянные параметры, значения которых надо найти.
В каждой точке xi вычислим разность между табличным значением функции yi и вычисленным значением функции , значения
, назовем отклонениями

,

то есть

Параметры будем находить из условия минимума функции S.
Минимум найдем, приравнивая к нулю частные производные по этим переменным



Из системы (*) найдем .

линий данного вида, проведенных относительно данных экспериментальных точек, выбрать одну,

для которой сумма квадратов отклонений будет наименьшей.

Условия минимума запишутся так:





или