Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия теории

дифференциального уравнения и n–го образца

называется задача нахождения решения этого уравнения,
удовлетворяющего решению этого уравнения

Где

-заданное число.

называется n-параметрические семейства

Удовлетворяющим следующим двум условиям:
1) При любых допустимых значениях параметров соответствующая функция семейства (2) есть решение данных дифференциальных уравнений.

2) Для любых допустимых начальных условий (1) найдутся такие значения параметров , при которых соответствующая ситуация семейства будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Общее решение в неявной форме называется общим интегралом дифференциального уравнения. Всякое решение, полученное из общего при конкретных значениях параметров называется частным решением дифференциального уравнения.

уравнения вида


Решаются путем разделения переменных



и последующего интегрирования

удовлетворяет уравнению

при любых допустимых t.

Однородные дифференциальные уравнения допускают y=ux приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно u.

называется дифференциальное уравнение, линейное, первой степени, относительно искомой функции ее

производной всякое уравнение первого порядка относительно y может быть записано в виде.


Линейное уравнение y=uv приводится к следующим уравнениям с разделяющими переменными.

Уравнение Барулли есть уравнение вида ,
где x любое действительное число, отличное от нуля единицы. Уравнение Беркулли может быть решением-подстановкой y=uv.

и допускает понижение порядка, т.е. может быть приведено к двум уравнениям первого образца. Первое из этих уравнений решается подставкой y=p(x), а второе .