Передаточные функции линейных САУ

по задающему воздействию

функция замкнутой системы по задающему воздействию

,
где характеристический полином

САУ

полином числителя этой передаточной функции


Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию

после снятия воздействия по окончании переходного процесса система возвращается в

исходное равновесное состояние
после изменения воздействия на постоянную величину по окончании переходного процесса система приходит в новое равновесное состояние
Пусть передаточная функция

замкнутой по какому-либо из воздействий САУ имеет только n простых полюсов, т.е. корней характеристического уравнения

тогда при подаче на её вход единичного ступенчатого воздействия переходная функция будет иметь вид

– установившаяся

(вынужденная) составляющая, однозначно связанная с изменением входной величины

– свободная
составляющая, изменяющаяся во времени в течение переходного процесса
Пусть полюсы ПФ – комплексные, т.е.

составляющая будет затухать
Если

, то будут иметь место расходящиеся колебания
Таким образом, общим условием затухания всех составляющих является отрицательность вещественных частей всех полюсов передаточной функции САУ. Если хотя бы один полюс имеет положительную вещественную часть, переходный процесс будет расходящимся и система будет неустойчивой
Иначе, необходимым и достаточным условием устойчивости САУ является расположение всех полюсов ее передаточной функции в левой комплексной полуплоскости

находится на границе устойчивости, называются граничными

Im(p)
pn-1
p2

p4 p1
Re(p)

p3
pn

p

называются критериями устойчивости
Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости
К алгебраическим

критериям относятся
Критерий Гурвица
Критерий Рауса
Критерий Рауса-Гурвица
К частотным критериям относятся
Критерий Михайлова
Критерий Найквиста

по следующим правилам):

и заканчивая ;
в

столбцы вписываются остальные коэффициенты, причем вверх от диагонали индекс коэффициентов уменьшается на единицу, а вниз – уменьшается на единицу;
оставшиеся свободные места в столбцах заполняются нулями
Система будет устойчива, если определитель Гурвица
будет положителен
Если , то

где главный минор определителя Гурвица

устойчивости при
Частные случаи систем

и система всегда устойчива
2.

Определитель Гурвица

и

система также всегда устойчива
3.
Главный минор определителя Гурвица
система может быть
устойчивой или
неустойчивой

устойчивости Михайлова
Пусть задан характеристический полином САУ

Заменим в нём оператор

Лапласа р на переменную
тогда получим

Кривая, которую описывает радиус- вектор функции
на комплексной плоскости при изменении
частоты от нуля до бесконечности, называется
годографом Михайлова

огибает против часовой стрелки начало
координат, проходя последовательно квадрантов
комплексной

плоскости, где n- порядок системы






САУ устойчива САУ неустойчива САУ на границе
устойчивости

Гурвица и Михайлова, совпадают.
Физический смысл величины

– это частота собственных колебаний системы на границе устойчивости

разомкнутой цепи
В передаточной функции

производят замену оператора р на переменную jω и на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности строят АФЧХ (годограф Найквиста)
Если разомкнутая цепь устойчива (а это всегда имеет место, если САУ не содержит неустойчивых неминимально фазовых звеньев), то формулировка критерия Найквиста звучит следующим образом

при изменении ω от нуля до бесконечности не охватывал точку

с координатами (-1, j0)







САУ устойчива САУ неустойчива САУ на
границе устойчивости

ImW(jω)

ReW(jω)

-1 0 ω = 0
ω

частоты входного воздействия сигнал, проходящий по цепи обратной связи, оказывается

в противофазе с входным. Это равносильно замене отрицательной обратной связи на положительную. Если же при этой частоте разомкнутый контур обладает усилением (т.е. ), то замкнутая САУ становится неустойчивой
На границе устойчивости


Частота ωπ, соответствует повороту радиус-вектора АФЧХ разомкнутой цепи на угол -π и называется частотой переворота фазы или частотой Найквиста

годограф АФЧХ не охватывает точку с координатами (-1, j0) то

при частоте, на которой
, абсолютное значение фазы меньше -π. Но значение соответствует
Поэтому для устойчивости замкнутой САУ необходимо, чтобы ЛАЧХ разомкнутой цепи пересекла ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение -π.
Однако ЛАЧХ равна нулю на частоте среза , а
на частоте переворота фазы . Следовательно, система будет абсолютно устойчива, если

частотах
и

. Эта ситуация характерна для условно устойчивых систем

среза или если ее
ЛФЧХ до частоты среза принимает значение

четное число раз

допустимого подъема ЛАЧХ, при котором система окажется на границе

устойчивости:


Запас устойчивости по фазе определяется величиной, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе с частотой среза
, чтобы система оказалась на границе устойчивости. Обычно рассчитывается в градусах