Перпендикулярность прямых Перпендикулярность прямой и плоскости

ПЛ №1 г.Иваново
Мочалова Е.В.

перпендикуляр-ными), если угол между ними равен 90°.
Обозначается a ┴ b
Перпендикулярные

прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Через любую точку

прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

если она перпендикулярна
к любой прямой, лежащей в этой

плоскости.

Прямая a, перпендикулярная
плоскости α (a⊥α), означает,
что a ⊥b, a ⊥c, где b ⊂ α, c ⊂ α.

параллельных прямых,
то она перпендикулярна другой
прямой. (a ⊥

α b и a II b => b ⊥ α)

2 Если две прямые перпендикулярны
одной и той же плоскости,
то они параллельны. (a ⊥ α и b ⊥ α => a II b)

3 Если прямая перпендикулярна
одной из двух параллельных
плоскостей, то она перпендикулярна
и другой плоскости. (α II β и a ⊥ α => a ⊥ β)

же прямой,
то эти плоскости параллельны.
(a ⊥ α и a

⊥ β => a II β)

5 Через любую точку пространства можно
провести прямую, перпендикулярную
данной плоскости, и притом только одну.

6 Через любую точку прямой можно
провести плоскость, перпендикулярную ей
и притом только одну.

- отрезок, лежащий на прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно

плоскости, соединяющий данную точку с точкой плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий на плоскости, называют основанием перпендикуляра.

Наклонная, проведенная из данной точки к плоскости, - любой отрезок, соединяющей данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и

той же точки, называется проекцией наклонной.

Свойства:

1 Перпендикуляр короче наклонной, проведенной из одной точки AO2. Из данной точки, не лежащей на плоскости, можно провести только один перпендикуляр к плоскости и бесконечное множество наклонных.

плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, то:
- равные

наклонные имеют равные проекции (если AB=AC, то BO=CO);
Если проекции наклонных равны, то сами наклонные равны (если BO= CO, то AB=AC);

Большая наклонная имеет большую проекцию (если AB>AC, то BO>CO);
Из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (если BO>CO, то AB>AC).

перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.


AO – расстояние от

точки A до плоскости α.

наклонной, то она перпендикулярна наклонной (если a ⊥ BO, то

a ⊥ AB).

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и
проекции наклонной
(если a ⊥ AB, то ⊥ BO).

перпендикулярных прямой и плоскости)
3) АВ и А´С определяют
4)
(признак перпендикулярности прямой

и плоскости)

5)

Если

то

следовательно

6)Аналогично, если

и

следовательно

АС- наклонная,

вписанной в треугольник окружности
проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Доказать,

что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Решение:

1)А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью,

то по теореме о трех перпендикулярах: SА- перпендикуляр к этой стороне

О- центр окружности,

S- точка на перпендикуляре

2) Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника,

3)По теореме Пифагора:

где r-радиус вписанной окружности

4)

5)

А

О

С

В

S

которых выполняется условие, что третья плоскость, перпендикулярная линии их пересечения,

пересекает их по перпендикуляр-ным прямым.

Плоскости α и β перпендику-лярны (α ⊥β), если плоскость Υ ⊥ c, Υ пересека-ет α и β по взаимноперпен-дикулярным прямым a и b,
(a ⊥ b).

плоскости, то эти плоскости перпендикулярны
(если a ⊂ α, a ⊥

β, то α ⊥ β).

их по перпендикулярным прямым.
(если α∩β=c, α ⊥β, α∩Υ=a, γ∩β=b

и γ ⊥ c, то a ⊥b)

2. Если прямая лежащая в одной из
двух перпендикулярных плоскостей,
перпендикулярна прямой их пересече-ния, то она перпендикулярна и другой плоскости.
(если α ⊥β, α ∩β=b, a€α и a ⊥b,
то a ⊥ β)

плоскости
4 Две плоскости, перпендику-лярные третьей плоскости, или параллельны, или пересекаются

по прямой, перпендикулярной третьей плоскости.

Свойства перпендикулярных плоскостей

(eсли α ⊥β, β ⊥ y, y ⊥ α, То

a ⊥ b, b ⊥ c, a ⊥ c)

Свойства перпендикулярных плоскостей

6 .Через данную прямую некоторой плоскости можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости.

с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.
Полуплоскости называются гранями,

а прямая, их ограничиваю-щая, - ребром двугранного угла.

Двугранные углы.

α и β – грани двугранного угла
a – ребро двугранного угла

этого двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру (угол между двумя перпендикулярами

к ребру двугранного угла, лежащими на гранях двугранного угла и имеющими на ребре общее начало).

Мера двугранного угла – мера соответствующего ему линейного угла.
Мера двугранного угла находится в переделах от 0 до 180 градусов.

двух скрещивающихся прямых называют отрезок с концами на этих прямых,

являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Утверждение: две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

и плоскости.
Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если плоскость перпендикулярна одной

из двух …. прямых , то она ,,,, другой прямой.
Две прямые, перпендикулярные одной плоскости ,,,,,,
Что такое перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость?
Расстояние от точки до плоскости – это …
Что такое наклонная? Что такое проекция наклонной?
Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.
Какие плоскости называются перпендикулярными?
Признак перпендикулярности плоскостей.
Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?