Поверхностная (проектированная) зона Бриллюэна

uk(r) инвариантна относительно трансляции
на любой

uk(r) = uk(r+Ri)

Дисперсионные зависимости ε(k)

Анализ ε(k) проводят используя понятие зоны Бриллюэна

Зона Бриллюэна

Для объема

Функции Блоха

k - трехмерный волновой вектор

Ячейка Вигнера-Зейтца в пространстве импульсов

Физические величины

Периодические функции
по k,период равен
вектору обратной решетки G

Состояния с
k и k’=k+G
физически
эквивалентны

соответствия
между волновым вектором и энергией.
Приведенная зона
Бриллюэна
Металл

Зона Бриллюэна - куб с ребрами
длиной 2π/a

Ряд точек и направлений представляют
наибольший интерес

Наличие у них элементов симметрии
облегчает расчеты.

Можно анализировать зависимость ε(k)
в пределах только первой зоны

-π/a≤ki≤π/a

Нет однозначного соответствия
между волновым вектором и энергией.

Приведенная зона
Бриллюэна

Металл со свободными электронами,
простая кубическая решетка

Зона Бриллюэна - куб с ребрами
длиной 2π/a

точки Г до Х.
ε(k) при изменении k вдоль направления

Уравнение Шредингера

ky=kz=0, 0≤kx≤π/a

ψ = exp (i(k - G)r),

G = 2π/a(n1 ix + n2 iy + n3 iz)

ix , iy, iz - единичные орты

ni - любые целые числа

Будем измерять k в величинах, кратных 2π/a:

k = 2π/a(ξ,η,ζ) = 2π/a(ξ ix + η iy + ζ iz),

Пределы изменения ξ, η, ζ - от 0 до 1/2.

Введем безразмерную величину

λ = (ξ-n1)2+(η-n2)2+(ζ-n3)2

(n1 - 1/2)2 +n22+ n32
Минимальная энергия при n =

Вдоль оси Δ.

λΔ(1)(0,0,0) = ξ2 и λХ(0,0,0) = 1/4

Точка Г

λ = (ξ-n1)2+(η-n2)2+(ζ-n3)2

λГ = n12+n22+n32

λ = 0

Точка X

n = (1,0,0)

λХ(2)(1,0,0) = 1/4

λГ(2)=1

Направление [100]

λΔ(3) = ξ2 + 1

λΔ(4) = (1 - ξ)2+1

n=(1,1,0)

λΔ(2) = (1 - ξ)2

n = (0,0,0)

λΔ(3) вырождена четырехкратно.

= V(u + z)
u - вектор двумерной поверхностной решетки

ψ = ψ k⊥ (z)exp (i(k⎜⎜(x)u),

k⎜⎜ - волновой вектор двухмерной решетки, параллельной поверхности.

Появление энергетических щелей
на границах зон Бриллюэна

Понижение кратности вырождения

Изменение формы дисперсионных
зависимостей и т.д.

Сведение симметрии к двум измерениям равносильно тому, что
элементарная ячейка кристалла простирается до бесконечности в направлении,
перпендикулярном поверхности

Трансляционная симметрия
сохраняется по координатам x и y

Поверхность при z = 0

что
соответствует
размерности
“хорошего” квантового
числа k⎜⎜
Поверхностная (“проектированная”)
зона Бриллюэна

“Сплющиваем” зону Бриллюэна

Длина грани по оси kz (2π/az )
в обратном пространстве уменьшается.

Расширяем элементарную
ячейку вдоль оси z

В пределе

Над обозначениями точек и направлений ставится черта

фиксированным k|| и различными k⊥
“Сплющивание” не приводит к изменению
спектра

Для фиксированного значения k⎜⎜
существует не одно дискретное
собственное значение E,
а некоторый континуум

Каждому из состояний, находящихся
в голубой области может быть
сопоставлено по меньшей мере
одно объемное состояние.

иметься энергетический зазор по всей ПЗБ.
В случае полупроводника или диэлектрика

Поверхностные состояния могут существовать
для некоторого интервала значений k⎜⎜

Зона поверхностных состояний.

Если в бесконечном кристалла в некотором интервале Е нет
разрешенных состояний той же симметрии ни при каком значении k⊥,
то электроны на ПС локализованы у поверхности

Их волновые функции
экспоненциально затухают
при удалении от поверхности
как в сторону вакуума,
так и в сторону объема

Связанная поверхностная зона

Связанные поверхностные состояния
Энергетические уровни -
- связанные поверхностные уровни

значительно медленнее, чем экспоненциально
Возрастает амплитуда у поверхности. При
удалении вглубь

Объемные уровни

Если энергетический уровень ПС
совпадает с собственными
значениями бесконечного
объемного кристалла

Имеется взаимодействие состояний,
отвечающих одинаковой
собственной энергии

Резонанс

Если собственные значения энергии
электронов кристалла с поверхностью
совпадают с таковыми для бесконечного
кристалла, то соответствующие им
волновые функции распространяются
в объем кристалла без затухания

Резонансные поверхностные состояния

изменяются.
ПЗБ - шестиугольник




Если симметрия поверхностного
слоя не отличается от
имеющейся

Проектирование не сложно

Однако

Изменяются величины
векторов обратной решетки,
размеры зоны Бриллюэна

Si(111)

Идеальная
структура (1x1)

ПЗБ - прямоугольник,
вписанный в шестиугольник

Структура (2x1)

объемной ЗБ.
Некоторые области ПЗБ дважды
или большее число раз

Расщепление электронных
состояний, появление
запрещенного
энергетического
интервала

В результате

Может быть не достаточно простого сдвига
“выступающих” частей дисперсионной кривой

На границе
зоны
вырождение