Применение определенного интеграла Геометрическое приложение. Механическое приложение.

и кривой



–
.




.

и кривой



–
.

Решение:




.


Найдем точки пересечения


х1 = –2

при 0 ≤х ≤2π


–

.




.

при 0 ≤х ≤2π


–

.

Решение:




.

S=2-(-2)=4

Пример:

–

.

.

–

.

Решение:

.

S=2-(-2)=4

х = x(t), y = y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми

где t1 и t2 определяются из уравнений a = x(t1), b = x(t2) (y(t) ≥ 0 при t1 ≤ t ≤ t2)

(изменение параметра t от t1 до t2 должно соответствовать обходу

точки пересечения кривой с координатными осями





х = 0 при t = ±1;
y = 0

(0, 3b) при t = 1; (0, –3b) при t = –1;
(–a, 0) при t = 0; (3a, 0) при t = ±2.

при t = 1; (0, –3b) при t = –1;
(–a, 0) при t = 0; (3a, 0) при

в полярных координатах уравнением ρ = ρ (ϕ) и двумя лучами ϕ = α, ϕ = β (α 

,
.

,
,
.
Окружности пресекаются при
.

l ее дуги:



где a и b – абсциссы концов дуги.

начала координат до точки (4, 8).


.









,
,
.

начала координат до точки (4, 8).


.









,
,
.




Решение:

,
,

,
,

,

,
,

,

,
,

двумя лучами α ≤ ϕ ≤ β:

,
,

,

,
,

,

сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, является непрерывной функцией на

где а, b – левая и правая границы тела.

а, а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаметру круга, есть равнобедренный

.

,

,

.

Решение:

,

,

,

,

и

Оу фигуры, ограниченной линиями

.

,

,

.

Решение:

,

,

,

,

лучами
вращается вокруг полярной оси,
то объем тела вращения равен

оси.

Найти объем тела вращения

и

Если дуга задана в полярных координатах

вращением астроиды
вокруг оси Ox



,

соответствующему определенному интегралу от скорости движения точки
Замечание:
Результат верен лишь в

положения s=a в положение s=b, равна соответствующему определенному интегралу от

х имеет массу с переменной линейной плотностью ρ(х)≥0, где ρ(х) –