Разделы презентаций


Применение производной

Применение производной 0 0= 0= 0+--++-minmax

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Применение производной

Применение производной

Слайд 2Применение производной
 0
 0
= 0
= 0
+
-
-
+
+
-
min
max

Применение производной 0 0= 0= 0+--++-minmax

Слайд 3На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной

функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). В какой точке

отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение.

Решение:
Заметим, что на отрезке [–8; –4]
производная функции
отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит,
наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом
конце отрезка, то есть в точке –4.

Ответ: –4.

№3


у = f ′(x)

f(x)

На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 8).

Слайд 4На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции

f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек экстремума

функции f(x), принадлежащих отрезку [– 6; 6].

Решение:
В точке экстремума производная функции
равна 0 либо не существует.
Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–», либо с «–» на «+».

Ответ: 3.

№4

+



+


у = f ′(x)

На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите

Слайд 5Решение:
Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке


хо = 4 обращается в 0 и при переходе через

эту точку меняет знак производной с «–» на «+», точка 4 и есть искомая точка экстремума функции на заданном интервале.

№5

На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8).

.

Ответ: 4.


+

у = f ′(x)

Решение: Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке хо = 4 обращается в 0 и

Слайд 6№6
На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции

f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек, в

которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней.

Ответ: 4.

Решение:
Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x + 2 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = –2, а значит нам нужно найти
количество точек, в которых производная функции
f ′(x) = –2. Для этого на графике производной проведем прямую у = –2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4.

у = f ′(x)

у = –2

№6На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите

Слайд 7№7
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на

интервале (–6; 5). Определите количество целых точек, в которых производная

функции отрицательна.

Ответ: 6.

Решение:
Заметим, что производная функции отрицательна, если сама функция f(x) убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции.
Таких точек 6:
х = −4, х = −3, х = −2,
х = −1, х = 0, х = 3.

–2

–1

–3

–4

0

3

у = f(x)

–6

5

у

х

№7На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 5). Определите количество целых точек,

Слайд 80
у = f(x)
–6
6
у
х
2
4
6
3
5
1
№8
На рисунке изображен график функции у =

f(x), определенной на интервале (–6; 6). Найдите количество точек, в

которых касательная к графику функции параллельна прямой у = –5.

Ответ: 6.

Решение:
Прямая у = −5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках
k = f ′(х) = 0.
В нашем случае – это точки экстремума.
Таких точек 6.

у = –5

–5

0у = f(x) –66ух246351№8На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 6). Найдите

Слайд 9№9
На рисунке изображен график у = f(x) – производной функции f(x),

определенной на интервале (–7; 5) и
касательная к нему в

точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.

Ответ: 1,25.

Решение:
Значение производной функции
f ′(хo) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,
проведенной к графику этой функции в данной точке.
В нашем случае k > 0, так как
α – острый угол (tg α > 0).
Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.
Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.
tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25

у = f(x)

4

А

В

С

5

хо

α

α

№9На рисунке изображен график у = f(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–7; 5) и касательная

Слайд 10180°− α
№10
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной

на интервале (–10; 2) и
касательная к нему в точке

с абсциссой хо.
Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.

Ответ: −0,75.

Решение:
Значение производной функции
f ′(хo) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,
проведенной к графику этой функции в данной точке.
В нашем случае k < 0, так как
α – тупой угол (tg α < 0).
Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.
Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.
tg(180°− α) = ВС : АС = 6 : 8 = 0,75
tg α = − tg (180°− α) = −0,75

8

А

В

С

6

хо

α

у = f(x)

180°− α№10На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–10; 2) и касательная к

Слайд 11.

На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x),

определенной на интервале (–11; 11).
Найдите количество точек максимума функции

f(x) на отрезке [−10; 10].

у

х

у = f ′(x)

0

Решение:
В точке экстремума производная функции
равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек
принадлежащих отрезку [−10; 10] пять.
В точках х2 и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.


+


+


+

х1

х2

х3

х4

х5

max

max

Ответ: 2.

f(x)

–10

10

№11

.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество

Слайд 12На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на

интервале (–8; 6).
Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Решение:
Точки

экстремума – это точки минимума и максимума.
Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять.
Найдем сумму их абсцисс:
-6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.

Ответ: 6.

№17

у = f ′(x)




На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6). Найдите сумму точек экстремума

Слайд 13На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции

f(x), определенной на интервале (–10; 8).
Найдите промежутки возрастания функции

f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

у = f ′(x)

+

+

Решение:
Заметим, что функция f(x) возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции.
Таких точек 7:
х = −3, х = −2, х = 3,
х = 4, х = 5, х = 6, х = 7.
Их сумма:
−3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20








7

5

3

-3

Ответ: 20.

На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). Найдите

Слайд 14Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику

функции у = х2 + 8х + 6.
Найдите абсциссу

точки касания.

Решение:
Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке (назовем ее хо), то ее угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х +11) равен значению производной функции в точке хо:
k = f ′(xo) = 4
Производная функции
f ′(x) = (х2 + 8х + 6)′ = 2x + 8.
Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2хo + 8 = 4,
откуда хо = – 2.

Ответ: – 2.

№1

Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции у = х2 + 8х +

Слайд 15Прямая у = 3х + 11 является касательной к графику


функции у = x3 − 3x2 − 6x + 6.


Найдите абсциссу точки касания.

Решение:
Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания, откуда имеем Зх2 − 6х − 6 = 3, то есть Зх2 − 6х − 9 = 0 или х2 − 2х − 3 = 0. Это квадратное уравнение имеет два корня: −1 и 3. Таким образом есть две точки, в которых касательная к графику функции у = х3 − Зх2 − 6х + 6 имеет угловой коэффициент, равный 3.
Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая
у = 3х + 11 касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной.
Значение функции в точке −1 равно у(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8,
а значение в точке 3 равно у(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Заметим, что точка с координатами (−1; 8) удовлетворяет уравнению касательной, так как 8 = −3 + 11. А вот точка (3; −12) уравнению касательной не удовлетворяет, так как −12 ≠ 9 + 11.
Значит, искомая абсцисса точки касания равна −1.

Ответ: −1.

№2

Прямая у = 3х + 11 является касательной к графику функции у = x3 − 3x2 −

Слайд 16Прямая у = 4х – 4 является касательной к графику

функции ах2 + 34х + 11. Найдите а.
Решение:
Производная функции в

точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo + 34 = 4. То есть ахo = –15.
Найдем значение исходной функции в точке касания:
ахo2 + 34хo + 11 = –15xo + 34хo + 11 = 19хo + 11.
Так как прямая у = 4х – 4 – касательная, имеем:
19хo + 11 = 4хo – 4, откуда хo = –1.
А значит a = 15.

Ответ: 15.

№12

Прямая у = 4х – 4 является касательной к графику функции ах2 + 34х + 11. Найдите

Слайд 17Прямая у = – 4х – 5 является касательной к

графику функции 9х2 + bх + 20. Найдите b, учитывая,

что абсцисса точки касания больше 0.

Решение.
Если хо – абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = – 4 – 18хо.
Аналогично задаче №12 найдем хо:
9xo2 + (– 4 – 18хо) xo + 20 = – 4хo – 5,
9xo2 – 4xo – 18хо2 + 20 + 4хo + 5 = 0,
– 9xo2 + 25 = 0,
хо2 = 25/9.
Откуда xo = 5/3 или xo = –5/3.
Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = – 4 – 18 ∙ 5/3, имеем b = –34.

Ответ: –34.

№13

Прямая у = – 4х – 5 является касательной к графику функции 9х2 + bх + 20.

Слайд 18Прямая у = 2х – 6 является касательной к графику

функции х2 + 12х + с. Найдите с.
Решение.
Аналогично предыдущим

задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной.
2хо + 12 = 2, откуда xo = –5.
Значение исходной функции в точке –5 равно:
25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2 ∙ (–5) – 6,
откуда с = 19.

Ответ: 19.

№14

Прямая у = 2х – 6 является касательной к графику функции х2 + 12х + с. Найдите

Слайд 19Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = 0,5t2 –

2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета

в метрах,
t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.

Решение.
Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t), равна значению производной функции х npu t = to,
искомая скорость будет равна
x ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2,
x ′(6) = 6 – 2 = 4 м/с.

Ответ: 4.

№15

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние

Слайд 20Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = 0,5t2 –

2t – 22, где x – расстояние от точки отсчета

в метрах,  
t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?

Решение.
Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t), равна значению производной функции х npu t = to,
искомая скорость будет равна
x ′(to) = 0,5 ∙ 2to – 2 = to – 2,
Т.к. по условию, x ′(to) = 4, то to – 2 = 4, откуда
to = 4 + 2 = 6 м/с.

Ответ: 6.

№16

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, где x – расстояние

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика