Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
Содержание
- 1. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- 2. 1. Движение свободной частицы х Свободная частица –
- 3. х(1) Прямой подстановкой можно убедиться в том, что
- 4. х Из выражения (2) следует, что зависимость энергии
- 5. хт.е. все положения свободной частицы являются равновероятностными. Таким
- 6. Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера, применительно
- 7. х Такая яма описывается потенциальной энергией видагде l
- 8. х Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде: (5)
- 9. х По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица
- 10. х В пределах «ямы» (0
- 11. хОтсюда следует, что: (11)где n = 1,
- 12. х Квантовые значения энергии En называется уровнями энергии,
- 13. х Найдем собственные функции: Постоянную интегрирования А найдем
- 14. Графики собственных функций соответствующие уровням энергии при п = 1, 2, 3…
- 15. х Плотность вероятности |Ψ(x)|2 обнаружения
- 16. хИз выражения следует, что энергетический интервал между
- 17. Если же размеры ямы соизмеримы с размерами
- 18. Кроме того, квантово-механическое рассмотрение этой задачи
- 19. х Неопределенность координаты Δx частицы в яме шириной
- 20. Из уравнений (5) и (11) следует,
- 21. хПринцип соответствия: всякая новая, более общая теория,
- 22. х3. Гармонический осциллятор Гармоническим осциллятором называют частицу,
- 23. (а)(б). В точках с координатами –x0 и +x0,
- 24. х Гармонический осциллятор в квантовой механике - квантовый
- 25. х ΔEn= ω и
- 26. х В квантовой механике вычисляется вероятность различных переходов
- 27. хПлотность вероятности нахождения частицы |Ψ|2=Ψ∙Ψ*При n = 2 в середине ямы частицы быть не может.
- 28. х Таким образом, энергия гармонического осциллятора изменяется только
- 29. Кроме того, квантово – механический расчет показывает,
- 30. х4. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер. Туннельный
- 31. х При E < U имеется также отличная
- 32. х Уравнение Шредингера для состояний для каждой их
- 33. х Учитывая значение q и то, что А1
- 34. х1. В области 1 плоская волна де
- 35. Таким образом, квантовая механика приводит
- 36. х Коэффициент прозрачности для барьера прямоугольной формыДля барьера произвольной формы
- 37. х Прохождение частицы сквозь ,барьер можно пояснить соотношением
- 38. С классической точки зрения прохождение частицы сквозь
- 39. Основы теории туннельных переходов заложены работами
- 40. Скачать презентанцию
1. Движение свободной частицы х Свободная частица – частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Т.к. на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси x) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(x)=const
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Тема ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА
1. Движение свободной частицы
2. Частица в одномерной
прямоугольной
барьер. Туннельный эффект
Слайд 21. Движение свободной частицы
х
Свободная частица – частица, движущаяся в
отсутствие внешних полей.
Т.к. на свободную частицу (пусть она движется
вдоль оси x) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(x)=const и ее можно принять равной нулю: (U=0) Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией.
В таком случае уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид
(1)
Слайд 3х
(1)
Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения
(1) является функция
где A=const и k=const, с собственным значением
энергии: (2)
Слайд 4х
Из выражения (2) следует, что зависимость энергии от импульса
оказывается
обычной для нерелятивистских частиц.
Следовательно, энергия свободной частицы может принимать
любые значения (т.к. число может принимать любые значения), т.е. ее энергетический спектр является непрерывным. 
Слайд 5х
т.е. все положения свободной частицы являются равновероятностными.
Таким образом, свободная частица
описывается плоской монохроматической волной де Бройля.
Этому способствует не зависящая
от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства.
Слайд 6 Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера, применительно к частице в
яме с бесконечно высокими «стенками».
2. Частица в одномерной прямоугольной
яме с
бесконечными внешними «стенками» 
Слайд 7х
Такая яма описывается потенциальной энергией вида
где l – ширина «ямы»,
а энергия отсчитывается от ее дна. (для простоты принимая, что
частица движется вдоль оси x)
Слайд 8х
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется
в виде:
(5)
Слайд 9х
По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за
пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения, (а следовательно, и волновая
функция) за пределами «ямы» равна нулю.На границах ямы волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в таком случае имеют вид
(6)
Слайд 10х
В пределах «ямы» (0 ≤ x ≤
l) уравнение Шредингера (5) сведется к уравнению
(7)
где
Общее решение дифференциального
уравнения (7) Уравнение Ψ(l) = A sin kl = 0 выполняется только при
Слайд 11х
Отсюда следует,
что:
(11)
где n = 1, 2, 3…
Т.е. стационарное уравнение Шредингера описывающее движение частицы в «потенциальной
яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях En, зависящих от целого числа n.Следовательно, энергия En частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется.
Слайд 12х
Квантовые значения энергии En называется уровнями энергии, а число п,
определяющее энергетические уровни - главным квантовым числом.
Таким образом, микрочастица
в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне En, или как говорят, частица находится в квантовом состоянии п. 
Слайд 13х
Найдем собственные функции:
Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки:
В
результате интегрирования получим
Соответственные функции будут иметь вид:
где
n = 1, 2, 3…
Слайд 15х
Плотность вероятности |Ψ(x)|2 обнаружения частицы на различных
расстояниях от «стенок» ямы для п = 1, 2,
3 В квантовом состоянии с п = 2 частица не может находиться в центре ямы, в то время как одинаково может пребывать в ее левой и правой частях.
Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.
Слайд 16х
Из выражения
следует, что энергетический интервал между двумя соседними
условиями равен
Например, для электрона при размерах ямы l=10–10м (свободные
электроны в металле) ΔEn ≈ 10–35 n Дж ≈ 10–16 n Эв,
т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр можно считать практически непрерывным.
Слайд 17 Если же размеры ямы соизмеримы с размерами стенки (l ≈
10–10 м), то для электрона
ΔEn ≈ 10–17 n Дж
≈ 10–2 n Эв, т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр).
Т.о., применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими “стенками” приводит к квантовым значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы лишних ограничений не накладывает.
х
Слайд 18 Кроме того, квантово-механическое рассмотрение этой задачи приводит к выводу,
что частица в потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками»
не может иметь энергию,х
меньшую, чем минимальная энергия
равная
Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Докажем это:
Слайд 19х
Неопределенность координаты Δx частицы в яме шириной l равна
Δx = l.
Тогда согласно соотношению неопределенностей, импульс не может
иметь точное, в данном случае, нулевое, значение. Неопределенность импульса: Такому разбросу значений импульса
соответствует минимальная кинетическая энергия:
Все остальные уровни имеют энергию, превышающую это значение
Слайд 20 Из уравнений (5) и (11) следует, что при больших
квантовых числах n>>1
х
т.е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем
больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов – дискретность – сглаживается.
Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923 г.) согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.
Слайд 21х
Принцип соответствия:
всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической,
не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию,
указывая границы ее применимости, причем в определенных предельных условиях новая теория переходит в старую.
Слайд 22х
3. Гармонический осциллятор
Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение
под действием квазиупругой силы F=kx.
Потенциальная энергия частицы
.
где
или
Слайд 23(а)
(б)
.
В точках с координатами –x0 и +x0, полная энергия равна
потенциальной энергии. Поэтому
с классической точки зрения частица не может выйти
за пределы области –x0 и +x0График потенциальной энергии частицы:
Слайд 24х
Гармонический осциллятор в квантовой механике - квантовый осциллятор - описывается
уравнением Шредингера:
Значения полной энергии осциллятора
где n = 0, 1, 2…
Слайд 25х
ΔEn= ω и
не зависит от
n.
называется нулевой энергией, т.е. при Т = 0К колебания атомов
в кристаллической решетке не прекращаются. Это означает что частица не может находиться на дне потенциальной ямы.
Минимальная
энергия
Слайд 26х
В квантовой механике вычисляется вероятность различных переходов квантовой системы из
одного состояния в другое. Для гармонического осциллятора возможны лишь переходы
между соседними уровнями. Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора:
Слайд 27х
Плотность вероятности нахождения частицы
|Ψ|2=Ψ∙Ψ*
При n = 2 в середине
ямы частицы быть не может.
Слайд 28х
Таким образом, энергия гармонического осциллятора изменяется только порциями, т.е. квантуется
Причем
минимальная порция энергии
(Вспомним тепловые излучения, где энергия излучается квантами).
Кроме того например, при n = 2 в середине сосуда частицы быть не может. Это совершенно непонятно с классической точки зрения. Квантуется не только энергия, но и координата частицы! 
Слайд 29 Кроме того, квантово – механический расчет показывает, что частицу можно
обнаружить и за пределами ямы, т.е. в области с координатами
–x0 и +x0 , в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы этой ямы.
Слайд 30х
4. Прохождение частиц сквозь
потенциальный барьер. Туннельный эффект
Рассмотрим простейший
потенциальный барьер прямоугольной формы высоты U и шириной l для
одномерного (по оси х) движения частицы.Рисунок 5
При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е:
либо беспрепятственно пройдет под барьером,
либо отразится от него (E < U) и будет двигаться в обратную сторону, т.е. она не может проникнуть через барьер.
Слайд 31х
При E < U имеется также отличная от нуля вероятность,
что частица окажется в области x > l, т.е. проникнет
сквозь барьер.Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи.
Для микрочастицы же, даже при E > U, имеется отличная от нуля возможность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону.
Слайд 32х
Уравнение Шредингера для состояний для каждой их выделенных областей имеет
вид:
Общее решение этих дифф. уравнений:
Здесь q = iβ –
мнимое число, 
Слайд 33х
Учитывая значение q и то, что А1 = 1, B3
= 0, получим решение уравнения Шредингера для трех областей в
следующем виде: В области 2 функция уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени не мнимые а действительные
Слайд 34х
1. В области 1 плоская волна де Бройля.
2. Волновая функция
не равна нулю и внутри барьера, хотя уже не соответствует
плоским волнам де Бройля3. В области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой.
Качественный анализ функций Ψ1(x), Ψ2(x), Ψ3(x) показан на рис.
Слайд 35 Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому
квантовому явлению -
туннельному эффекту,
в результате которого микрообъект
может пройти через барьер.
Слайд 37х
Прохождение частицы сквозь ,барьер можно пояснить соотношением неопределенностей: Неопределенность импульса
на отрезке Δx = l составляет
Связанная с этим
разбросом в значении импульсаможет оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной.
кинетическая энергия
Слайд 38 С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при
E < U невозможно, так как частица,
находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией.Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом.
Слайд 39 Основы теории туннельных переходов заложены работами
советских ученых
Л.И. Мандельштама и М.А. Леонтовича в 1928
г. Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений:физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников),
атомной и ядерной физики
(например, α-распад, протекание термоядерных реакций).
