Проекционные методы решения краевых задач

Пример решения одномерной краевой задачи Дирихле
Двумерная краевая задача Дирихле
Метод

Канторовича сведения задачи для ДУ в частных производных к решению задачи для системы ОДУ

такую u=u(x) a≤x≤b u(a)=u0 u(b)=u1


На которой

достигается
минимум функционала

Центральная теорема: минимум доставляет решение дифференциального уравнения Эйлера

- скорость
Затраты пропорциональны квадрату скорости
При

каком законе движения обеспечивается минимум затрат на пути 0≤ u(х) ≤ s ?

Уравнение Эйлера



Оптимальный закон (линейный!)

функционала сводится к решению ДУ.
Справедливо и обратное – решение ДУ

можно свести к нахождению минимума функционала.
Запишем краевую задачу для ДУ в общем виде:



Область определения функции u: R(u)=Ω; Г – граница Ω.

и во многих случаях единственным способом нахождения минимума функционала общего

вида является метод Ритца (W. Ritz), впервые им предложенный в 1908 г.

в функционал


получаем задачу минимизации функции n переменных

эффективность решения задачи

экстремума




Получаем СЛАУ

исходной краевой задачи простой подстановкой uN вместо u и последующим

умножением скалярно (проектированием) на каждую функцию базиса

В общем случае



Два базиса

Если проекции F(x) на все функции базиса равны 0 то F(x)≡0

задаче) предложил в 1915 г.
Б.Г. Галеркин
В зависимости от выбора

в функций ϕ и оператора K эти методы имеют свои названия
метод Бубнова-Галеркина: K=I , ψ=ϕ оператор L может не быть симметричным и положительно определенным
метод Галеркина-Петрова: K=I , ψ≠ϕ
метод наименьших квадратов: K=L , ψ=ϕ

проекционных уравнений





В зависимости от постановки граничных условий выбираем соответствующую систему

базисных функций

проекционное уравнение вида



Или для выбранных функций

@(x)f(x).*sin(i*pi*x)-g(x).*(be1-be0).i*pi*cos(i*pi*x);
d(i) = quad(F1,0,1);
for k=1:N
F2 = @(x)g(x).*cos(i*pi*x).*cos(k*pi*x)*i*k*pi^2;
G(i,k)=quad(F2,0,1);
end; end
a=d/G;
a
for i=1:M+1 %выдача

графика
xt(i)=(i-1)/M;
y(i)=be0+(be1-be0)*xt(i);
for k=1:N
y(i)=y(i)+a(k)*sin(k*pi*xt(i));
end; end;
plot(xt,y);
return

уравнения используя гр. условие:



Проекционное уравнение

= @(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*(1-x))-

g(x).*be1.*0.5*i*pi*cos(0.5*i*pi*(1-x));
d(i) = quad(F1,0,1)+g(0)*be0*sin(0.5*i*pi);
for k=1:N
F2 = @(x)g(x).*cos(0.5*i*pi*(1-x)).*cos(0.5*k*pi*(1-x))
*i*k*pi^2*0.25;
G(i,k)=al0*g(0)*sin(0.5*k*pi)*sin(0.5*i*pi)-quad(F2,0,1);
end; end
a=d/G;
a
for i=1:M+1
xt(i)=(i-1)/M;
y(i)=be1*xt(i);
for k=1:N
y(i)=y(i)+a(k)*sin(0.5*k*pi*(1-xt(i)));
end; end;
plot(xt,y,'b');
return

уравнение

@(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*x)-

g(x).*be0.*0.5*i*pi*cos(0.5*i*pi*x);
d(i) = quad(F1,0,1)-g(1).*be1*sin(0.5*i*pi);
for k=1:N
F2 = @(x)g(x).*cos(0.5*i*pi*x).*cos(0.5*k*pi*x)*i*k*pi^2*0.25;
G(i,k)=-al1*g(1).*sin(0.5*k*pi)*sin(0.5*i*pi)-quad(F2,0,1);
end; end
a=d/G;
a
for i=1:M+1
xt(i) =(i-1)/M;
y(i)=be0*(1- xt(i) );
for k=1:N
y(i)=y(i)+a(k)*sin(0.5*k*pi*xt(i));
end; end;
plot(xt,y,'b');
return

двумерного случая




Получаем проекционное уравнение без вторых производных

задачи для системы ОДУ методом Канторовича
Задана краевая задача в цилиндрической

области вида


Г - граница области поперечного сечения

Решение ищем в виде разложения по базису



Стандартное проекционное уравнение после интегрирования представляет систему ОДУ относительно ak