Проверка статистических гипотез

генеральной совокупности.
Проверяемая гипотеза называется нулевой и обозначается H0.

Наряду с ней рассматривают альтернативную гипотезу H1.
Правило, согласно которому проверяют гипотезу H0 (принимают или отвергают), называется статистическим критерием.

F≠F0).
Гипотеза о параметре.
H0: θ= θ0, H1: θ = θ1.

(Или: H1: θ ≠ θ0).

θ= θ0, H1: θ = θ1 параметрические гипотезы.
Гипотеза называется

простой, если она
однозначно фиксирует распределение наблюдений. Иначе это сложная гипотеза.
H1: θ = θ1 – простая гипотеза, а
H1: θ ≠ θ0 – сложная.

при сложной
альтернативной  H1: F≠F0.
Для проверки гипотезы возьмем статистику
T=T(X), характеризующую

отклонение
эмпирических данных от соответствующих
гипотезе теоретических значений.
(!) Должно быть известно (точно или
приближенно) распределение статистики T в
случае справедливости H0.

вероятность осуществления события T(x)€ V в случае справедливости гипотезы H0

удовлетворяла бы условию P(T(x) € V ) = α.
По выборке вычислим значение статистики Т=tв
Если окажется, что tв € V, то в предположении справедливости гипотезы H0, произошло маловероятное событие и эта гипотеза должна быть отвергнута как противоречащая статистическим данным. В противном случае нет основания отказываться от рассматриваемой гипотезы и следует считать, что наблюдения не противоречат гипотезе (согласуются с ней).

α – уровнем
значимости критерия (вероятностью
ошибочного отвержения гипотезы H0,

когда она
верна).
В конкретных задачах величину α берут
равной 0,005; 0,01; 0,05; 0,1.
Обычно используют области вида V=(t*,+∞)
для неотрицательной статистики или
V=( – ∞ ,t1*) U(t2*, +∞), если статистика принимает
положительные и отрицательные значения.

статистики T выбирают величину
Dn=Dn(x)=max|Fn(x) –F0(x)|,
где Fn(x)– эмпирическая функция

распределения, а в качестве критической области – область вида V=(t*,+∞).

Dn сходится к
функции Колмогорова К(t). Функция
Колмогорова задается таблично.

При
практических расчетах значения К(t) можно
применять уже при n>20.
t* находится из таблиц К(t) по заданному α.
Например, при α=0,05 находим, что t* = 1,358.

при n>20 сводится к
следующему:
если значение статистики √n Dn ≥ t*,

то H0 отвергают, в противном случае
делают вывод , что статистические
данные не противоречат гипотезе.

F0 и эмпирической функцией
распределения Fn, построенной по выборке
объема

n=100, равно 0,094.
√100∙ 0,094= 0,94< t* = 1,358.
Следовательно, H0 не отвергается, т.е.
распределение F0 можно использовать для
моделирования генеральной совокупности.

(n ≥50),
k – число интервалов группировки,
ni –

число значений, попавших в i –й интервал, i=1,…,k, (ni ≥5),
pi – теоретическая вероятность попадания одного элемента выборки в i –й интервал.

H0: F=F0. Критерий согласия Пирсона χ2

неизвестны (как обычно и бывает), то вместо них используются их

оценки.
Если используются оценки максимального правдоподобия, то :

–r –1, где r – число параметров, оцененных
по выборке.
Критическая

область имеет вид (t*,+∞), где t*
– квантиль распределения χ2 порядка 1 –α.
Если значение статистики T ≥ t*, то H0
отвергают, в противном случае делают
вывод, что статистические данные не
противоречат гипотезе.

элемент выборки;
xmin = –2.46 – минимальный элемент выборки;
R =

4.37 – размах выборки;
Примем k = 10 – число интервалов.
Вычислим С = R/k =0.44 – длина интервала.

= –0,266
Оценка среднего квадратического отклонения:
S = 0,95;

– критическое значение критерия Пирсона, полученное для доверительной вероятности 1

–α = 0.95 (т.е. на уровне значимости α = 0.05 = 5%) и числа степеней свободы ν = k – 3 = 7 из таблицы.

позволяет сделать вывод о том, что гипотеза о нормальном распределении

не отвергается.
Генеральную совокупность можно моделировать с помощью нормального закона распределения с параметрами:
a= 0.27,
σ = 0.95.