Расчет траекторных пробегов ионов в твердом теле и распределение внедренных ионов по глубине образца

и распределение внедренных ионов по глубине образца .
Коэффициент отражения и

зарядовый состав отраженных ионов .

в твердом теле до полной остановки. Перед входом в образец

все ионы имеют одинаковую энергию Е0 (моноэнергетический пучок). Так как энергия, теряемая ионом в каждом соударении с атомами твердого тела (в данной лекции будем обозначать ее Т) зависит от прицельного параметра, то эта величина имеет случайный характер в силу случайности прицельного параметра. Кроме того, угол рассеяния, определяемый прицельным параметром, в каждом соударении также имеет случайный характер. Траектория каждого иона индивидуальна и величина пробега R у каждого иона различна.
Необходимо ввести в рассмотрение функцию распределения ионов по длинам пробега, которая в общем случае является функцией P(R, E0, Z1, Z2, M1, M2, n0) и характеризует плотность вероятности того, что ион M1, Z1 с начальной энергией Е0 остановится после прохождения пути R в образце Z2, M2 с атомной концентрацией n0 (как и в предыдущих лекциях пренебрегаем наличием у образца кристаллической решетки и рассматриваем моноэлементный образец). В дальнейшем для краткости будем опускать в функции Р все аргументы кроме R и E0.

является Гауссовым распределением



– средний траекторный пробег

– среднеквадратичное отклонение траекторных пробегов

При

взаимодействии иона с атомом твердого тела имеется вероятность, что атому будет передана энергия Tn за счет упругого рассеяния иона на ядре, а его электронам энергия Te. Эта вероятность определяется значением дифференциального сечения dσne(Tn, Te) = dσn(Tn) + dσe(Te) – ядерные и электронные потери рассматриваем независимо.

участок его траектории δR такой малый, что на нем происходит

только одно взаимодействие с атомом твердого тела.
Вероятность того, что на этом участке ион потеряет энергию Tn + Te, равна
n0 dσne(Tn, Te)δR. После этого взаимодействия энергия иона будет Е0 – Tn – Te.
Чтобы ион при дальнейшем движении имел траекторный пробег R, ему необходимо пройти путь R – δR.
Плотность вероятности прохождения такого пути равна
P(R – δR, Е0 – Tn – Te).
Произведение P(R – δR, Е0 – Tn – Te)⋅n0 dσne(Tn, Te)δR – вклад рассматриваемого взаимодействия в полную вероятность пробега R.

по dσne. Поэтому вероятность того, что в слое δR произойдет

взаимодействие равна

Вероятность, что в слое δR взаимодействие не произойдет равна


Поэтому вероятность, что ион с начальной энергией Е0 пройдет путь R может быть записана в виде Р = Р+ + Р–

функции распределения Р


Нахождение точного решения этого уравнения очень сложная

задача, поэтому функцию P(R, E0) обычно определяют с помощью расчета ее моментов распределения.





Если пренебречь отражением ионов, то

проинтегрируем по R от 0 до ∝


левую часть интегрируем по

частям



правую часть – заменой порядка интегрирования

= 1
Разность в квадратных скобках разложим в ряд относительно

Е0 по порядку малости Tn + Te и в первом приближении получаем

- средний квадрат траекторного пробега
Из рекуррентного соотношения (6.3) для

m = 2


вычтем , умноженное на

частям
после перегруппировки получим



Так как

, то последнее выражение

Опять разложим выражения в квадратных скобках в правой и левой части в ряд по Tn + Te относительно Е0

и используя




Так как , то

Окончательно, опять таки в первом приближении

= –4πan0Z1Z2e2M1s(ε)/(M1 + M2), где s(ε) = sn(ε) + se(ε),
dE

= dεZ1Z2e2(M1 + M2)/aM2
средний траекторный пробег можно записать в виде



где ε0 – приведенная энергия Линдхарда, соответствующая энергии иона Е0.
Интеграл в последнем выражении - безразмерный (приведенный) траекторный пробег ρ, часто используется формальная запись dε/dρ = s(ε).

пробега с размерным траекторным пробегом


Чтобы получить в

Å необходимо n0 брать в атом/Å3.
Если для sn(ε) воспользоваться аппроксимацией Юдина и использовать выражение , то интеграл можно вычислить




Например, при облучении углерода ионами аргона с энергией 20 кэВ безразмерный траекторный пробег ρ = 1,18, соответственно средний траекторный пробег = 139 Å.

обычно интерес представляет не сам траекторный пробег, а проективный (проецированный)

пробег Rр, величина которого совпадает с проекцией траекторного пробега на первоначальное направление движения иона при входе в образец







среднее значение проективного пробега Rp,

функция распределения проективных пробегов ионов – гауссова

(число ионов попавших на единицу площади образца за время облучения

[ион/см2]) равен F, то концентрация имплантированных ионов по глубине образца ni(z) определяется выражением ni(z) = FP(z, E0) и при гауссовой функции распределения проективных пробегов


где - максимальная концентрация имплантированных ионов при z = Rp, которая находится из условия нормировки

описывает отраженные ионы, если считать, что коэффициент отражения

то для получаем




Окончательно




Концентрация имплантированных ионов спадает в 2; 10 и 100 раз по отношению к на глубине z ≅ Rp ± 1,2 ΔRp; Rp ± 2ΔRp и Rp ± 3ΔRp.

процесс отражения, является
коэффициент отражения

где Nотр – все отраженные ионы

с любыми энергиями и в любом зарядовом состоянии, вылетевшие из образца, облученного N0+ ионами первичного пучка.
Коэффициент отражения ионов бора при имплантации в кремний

иметь разный зарядовый состав: однократно и многократно заряженные положительные и

отрицательные ионы; нейтральные атомы, в том числе в возбужденном состоянии (снятие возбуждения осуществляется за счет высвечивания фотона видимого света). Характеристикой зарядового состояния является вероятность вылета в том или ином зарядовом состоянии (i) при данной энергии



В дальнейшем, при рассмотрении конкретных методов анализа, нас будет интересовать зарядовый состав отраженных ионов гелия. Как показывают многочисленные эксперименты, при энергиях отраженных ионов гелия > 100 кэВ практически все они отражаются в виде однократно заряженных положительных ионов, т.е. W+(E) = 1.