Решение задач № 20 (базовый уровень)

Калужской области
Наталья Николаевна Коломина
2016 год

от­ре­зок за один пры­жок. Куз­не­чик на­чи­на­ет пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат.

Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 11 прыж­ков?

Посмотреть решение

За­ме­тим, что куз­не­чик может ока­зать­ся толь­ко в точ­ках с нечётными ко­ор­ди­на­та­ми, по­сколь­ку число прыж­ков, ко­то­рое он де­ла­ет, — нечётно. Мак­си­маль­но куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках, мо­дуль ко­то­рых не пре­вы­ша­ет один­на­дца­ти. Таким об­ра­зом, куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.
Ответ: 12.

весь объём од­но­го ста­ка­на бак­те­рии за­пол­ня­ют за 1 час. За

сколь­ко се­кунд ста­кан будет за­пол­нен бак­те­ри­я­ми на­по­ло­ви­ну?

Посмотреть решение

За­ме­тим, что каж­дую се­кун­ду в ста­ка­не ста­но­вит­ся в два раза боль­ше бак­те­рий. То есть если в какой-то мо­мент бак­те­ри­я­ми за­пол­не­на по­ло­ви­на ста­ка­на, то через се­кун­ду будет за­пол­нен весь ста­кан. Таким об­ра­зом, пол­ста­ка­на будет за­пол­не­но через 59 минут и 59 се­кунд то есть через 3599 се­кунд.
Ответ: 3599.

среди любых 17 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а

среди любых 25 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не?

Посмотреть решение

Со­глас­но усло­вию за­да­чи: (40-17)+1=24 - долж­но быть ры­жи­ков. (40-25)+1=16 - долж­но быть груз­дей. Таким об­ра­зом, ры­жи­ков в кор­зи­не 24.
Ответ: 24.

подъ­ез­де в квар­ти­ре № 462, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя

к дому, Петя об­на­ру­жил, что дом се­ми­этаж­ный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир оди­на­ко­во, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с еди­ни­цы.)

Посмотреть решение

По­сколь­ку в пер­вых 7 подъ­ез­дах не мень­ше 462 квар­тир, в каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 462 : 7 = 66 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом из 7 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 9 квар­тир.
Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 9 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах всего 9 · 7 · 7 = 441 квар­ти­ра, и квар­ти­ра 462 ока­жет­ся в вось­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.
Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 10 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах 10 · 7 · 7 = 490 квар­тир, а в пер­вых шести — 420. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом подъ­ез­де. Она в нем 42-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 10 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на пятом этаже.
Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 11 квар­тир, то в пер­вых шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 11 · 7 · 6 = 462 квар­ти­ры, то есть 462 квар­ти­ра в ше­стом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.
Тем самым, Саша живёт на пятом этаже. Ответ: 5.

быть равен оста­ток?
Посмотреть решение
Среди 10 под­ряд иду­щих чисел одно из

них обя­за­тель­но будет де­лить­ся на 7, по­это­му про­из­ве­де­ние этих чисел крат­но семи. Сле­до­ва­тель­но, оста­ток от де­ле­ния на 7 равен нулю.
Ответ: 0.

часов, наливают полное ведро воды объёмом 8 литров. Но в

днище бака есть небольшая щель, и из неё за час вытекает 3 литра. В какой момент времени (в часах) бак будет заполнен полностью?

Посмотреть решение

К концу каж­до­го часа объём воды в баке уве­ли­чи­ва­ет­ся на 8 − 3 = 5 лит­ров. Через 6 часов, то есть в 18 часов, в баке будет 30 лит­ров воды. В 18 часов в бак до­льют 8 лит­ров воды и объём воды в баке ста­нет рав­ным 38 лит­ров.
Ответ: в 18 часов.

про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 7?
Посмотреть решение
До­ста­точ­но взять два числа, одно из

ко­то­рых крат­но семи, на­при­мер, 7 и 8.

2 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ных и одну мед­ную;
• за

5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тых и одну мед­ную.
У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 50 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая?

Посмотреть решение

Пусть х- количество операций второго типа, у- количество операций первого типа. Выполняя операции 2-го типа, Николай получил 3х золотых монет и х медных. Выполняя операции первого типа, Николай отдал 2у золотых монет и получил у медных. Золотых монет не появилось (0), а медных стало 50. Получаем:
3х – 2у = 0 Решаем систему, получаем: х = 20, у = 30.
х + у = 50

Количество серебряных монет менялось так: -5х + 3у = -5·20 + 3·30 = -10

Ответ: уменьшилось на 10.

блюд, 5 видов вто­рых блюд и 4 вида де­сер­та. Сколь­ко

ва­ри­ан­тов обеда из са­ла­та, пер­во­го, вто­ро­го и де­сер­та могут вы­брать по­се­ти­те­ли этого ре­сто­ра­на?

Посмотреть решение

Салат можно вы­брать ше­стью спо­со­ба­ми, пер­вое — тремя, вто­рое — пятью, де­серт — че­тырь­мя. Сле­до­ва­тель­но, всего 6 · 3 · 5 · 4 = 360 ва­ри­ан­тов обеда.
Ответ: 360.

за 50 минут, а каж­дый сле­ду­ю­щий ки­ло­метр про­хо­ди­ли на 15

минут доль­ше преды­ду­ще­го. По­след­ний ки-

Посмотреть решение

На подъём в гору груп­па за­тра­ти­ла 290 минут, на отдых 10 минут, на спуск с горы 210 минут. В сумме ту­ри­сты за­тра­ти­ли на весь марш­рут 510 минут. Пе­ре­ведём 510 минут в часы и по­лу­чим, что за 8,5 часов ту­ри­сты пре­одо­ле­ли весь марш­рут.
Ответ: 8,5 ч.

­ло­метр перед вер­ши­ной был прой­ден за 95 минут. После де­ся­ти­ми­нут­но­го от­ды­ха на вер­ши­не ту­ри­сты на­ча­ли спуск, ко­то­рый был более по­ло­гим. Пер­вый ки­ло­метр после вер­ши­ны был прой­ден за час, а каж­дый сле­ду­ю­щий на 10 минут быст­рее преды­ду­ще­го. Сколь­ко часов груп­па за­тра­ти­ла на весь марш­рут, если по­след­ний ки­ло­метр спус­ка был прой­ден за 10 минут.

D. Рас­сто­я­ние между A и B — 35 км, между A и

C — 20 км, между C и D — 20 км, между D и A — 30 км (все рас­сто­я­ния из­ме­ря­ют­ся вдоль коль­це­вой до­ро­ги в крат­чай­шую сто­ро­ну). Най­ди­те рас­сто­я­ние между B и C. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах.

Посмотреть решение

Рас­по­ло­жим А, В, C, D вдоль коль­це­вой до­ро­ги по оче­ре­ди так, чтобы рас­сто­я­ния со­от­вет­ство­ва­ли дан­ным в усло­вии. Всё хо­ро­шо, кроме рас­сто­я­ния между D и A. Чтобы оно было таким, каким нужно, по­дви­нем D и по­ста­вим между B и A нуж­ным об­ра­зом. Тогда между B и C будет 15 км.

Ответ: 15.

A

B

C

D

20

15

5

30

кино, 18 че­ло­век хо­ди­ли в театр, причём и в кино,

и в театр хо­ди­ли 12 че­ло­век. Из­вест­но, что трое не хо­ди­ли ни в кино, ни в театр. Сколь­ко че­ло­век из клас­са хо­ди­ли в кино?

Посмотреть решение

12 че­ло­век хо­ди­ли и в кино, и в театр. А всего в театр хо­ди­ло 18 че­ло­век. Зна­чит, 6 че­ло­век хо­ди­ли толь­ко в театр.
Схо­ди­ли в театр или в кино и в театр, или ни­ку­да не хо­ди­ли - 12 + 6 + 3 = 21 че­ло­век. Зна­чит,  25 – 21 = 4 че­ло­ве­ка хо­ди­ли толь­ко в кино. И зна­чит всего в кино схо­ди­ло  12 + 4 = 16 че­ло­век.
Ответ: 16.

год удва­и­ва­ет­ся. Из­вест­но, что в 2005 году сред­нее число тран­зи­сто­ров

на мик­ро­схе­ме рав­ня­лось 520 млн. Опре­де­ли­те, сколь­ко в сред­нем мил­ли­о­нов тран­зи­сто­ров было на мик­ро­схе­ме в 2003 году.

Посмотреть решение

Каж­дый год число тран­зи­сто­ров удва­и­ва­ет­ся, по­это­му в 2004 году сред­нее число тран­зи­сто­ров рав­ня­лось 520:2 = 260 млн, а в 2003 — 260:2 = 130 млн.
Ответ: 130 млн.

Если рас­пи­лить палку по крас­ным ли­ни­ям, по­лу­чит­ся 5 кус­ков, если

по жёлтым — 7 кус­ков, а если по зелёным — 11 кус­ков. Сколь­ко кус­ков по­лу­чит­ся, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цве­тов?

Посмотреть решение

Каж­дый рас­пил уве­ли­чи­ва­ет ко­ли­че­ство кус­ков на один. То есть всего 4 крас­ные линии, 6 жёлтых и 10 зелёных. То есть вме­сте 20 линий. А кус­ков по­лу­чит­ся 21.
Ответ: 21.

этаже оди­на­ко­вое число квар­тир. При этом число эта­жей в доме

боль­ше числа квар­тир на этаже, число квар­тир на этаже боль­ше числа подъ­ез­дов, а число подъ­ез­дов боль­ше од­но­го. Сколь­ко эта­жей в доме, если всего в нём 110 квар­тир?

Посмотреть решение

Число квар­тир, эта­жей и подъ­ез­дов может быть толь­ко целым чис­лом. За­ме­тим, что число 110 де­лит­ся на 2, 5 и 11. Сле­до­ва­тель­но, в доме долж­но быть 2 подъ­ез­да, 5 квар­тир на этаже и 11 эта­жей.

ме­ри­ди­а­на. На сколь­ко ча­стей про­ведённые линии раз­де­ля­ют по­верх­ность гло­бу­са?
Посмотреть решение
Пред­ста­вим,

что на гло­бу­се ещё не на­ри­со­ва­ны па­рал­ле­ли и ме­ри­ди­а­ны. За­ме­тим, что 24 ме­ри­ди­а­на раз­де­лят гло­бус на 24 части. Рас­смот­рим сек­тор, об­ра­зо­ван­ный двумя со­сед­ни­ми ме­ри­ди­а­на­ми. Про­ве­де­ние пер­вой па­рал­ле­ли раз­де­лит сек­тор на две части, про­ве­де­ние вто­рой до­ба­вить ещё одну часть, и так далее, таким об­ра­зом, 17 па­рал­ле­лей раз­де­лят сек­тор на 18 ча­стей. Сле­до­ва­тель­но, весь гло­бус будет раз­бит на 24 · 18 = 432 части.
Ответ: 432.

по математике. Все задания. «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни.

/ И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, А.В.Забелин, П.И.Захаров, С.Л.Крупецкий, В.Б.Некрасов, М.А.Посицельская, С.Е.Посицельский, Е.А.Семенко, А.В.Семёнов, В.А.Смирнов, Н.А.Сопрунова, А.В.Хачатурян, И.А.Хованская, С.А.Шестаков, Д.Э.Шноль; под ред. И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2016.- 640с.