Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Решение заданий В 10 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014
Содержание
- 1. Решение заданий В 10 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014
- 2. Классическое определение вероятностиТеоремы о вероятностях событий
- 3. Классическое определение вероятности Вероятностью события
- 4. Решение.Игральные кости – это кубики с 6
- 5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.
- 6. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок:
- 7. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших
- 8. Решение: 100 + 8 = 108 –
- 9. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4
- 10. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего
- 11. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего
- 12. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии,
- 13. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону
- 14. В сборнике билетов по биологии всего 55
- 15. В сборнике билетов по математике всего 25
- 16. На чемпионате по прыжкам в воду выступают
- 17. Решение: Элементарное событие в этом эксперименте –
- 18. В чемпионате мира участвует 16 команд. С
- 19. Решение:На клавиатуре телефона 10 цифр, из них
- 20. Решение:Натуральных чисел от 10 до 19 десять,
- 21. Решение:Всего туристов пять, случайным образом из них
- 22. Решение:Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает
- 23. Решение:Сумма очков может быть равна 5 в
- 24. Решение:Всего возможных исходов — четыре: ОО, ОР,
- 25. На рок-фестивале выступают группы — по одной
- 26. В некотором городе из 5000 появившихся на
- 27. Решение:В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В.,
- 28. Решение:Всего участников 250, т.е. N=250.В запасную аудиторию
- 29. В классе 26 человек, среди них два
- 30. В фирме такси в наличии 50 легковых
- 31. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом
- 32. Решение:Частота события «гарантийный ремонт» равна 51 : 1000 = 0,051. Она
- 33. Решение:В кармане было 4 конфета, а выпала
- 34. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то
- 35. Два события, называются совместными,
- 36. Суммой двух случайных событий А
- 37. Произведением событий А и В
- 38. Решение:Введем обозначения для событий: А1 = {стекло выпущено
- 39. Решение:Возможность выиграть первую и вторую партию не
- 40. Решение:Определим события: А = {вопрос на тему «Вписанная
- 41. Решение:Определим события А = {кофе закончится в
- 42. Решение: Результат каждого следующего выстрела не зависит
- 43. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый
- 44. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность
- 45. Решение:Введем обозначения для событий:A = «чайник прослужит больше года,
- 46. Решение: (другой способ)Будем рассматривать как геометрическую вероятность.
- 47. Решение:Введем обозначения для событий: А1 = {яйцо поступило
- 48. Ковбой Джон попадает в муху на стене
- 49. При артиллерийской стрельбе автоматическая система
- 50. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной
- 51. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность
- 52. Решение:Рассмотрим события:A = «учащийся решит 11 задач»
- 53. Решение:Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З.
- 54. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок
- 55. На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок
- 56. В магазине три продавца. Каждый из них
- 57. Решение:Вероятность того, что первый магазин не доставит
- 58. Решение:Рассмотрим события A = «в автобусе меньше
- 59. Решение:1) Команда «Статор» начинает игру с мячом
- 60. Решение:Для погоды на 4, 5 и 6
- 61. Решение:Анализ пациента может быть положительным по двум
- 62. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06.
- 63. Решение:Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может
- 64. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в
- 65. В классе учится 21 человек. Среди них
- 66. Решение:Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах,
- 67. Решение:Двухрублевые монеты могут лежать в одном кармане,
- 68. Используемые материалыЕГЭ 2013. Математика. Задача В10. Теория
- 69. Скачать презентанцию
Классическое определение вероятностиТеоремы о вероятностях событий
Слайды и текст этой презентации
Слайд 3Классическое определение вероятности
Вероятностью события А при проведении некоторого
испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает
событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.Алгоритм нахождения вероятности случайного события:
Для нахождения вероятности случайного события при проведении некоторого испытания следует найти:
1) число N всех возможных исходов данного испытания;
2) количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие А;
3) частное N(A)/N, оно и будет равно вероятности события А.
Вероятность события А обозначать Р(А). Значит Р(А)= N(A)/N
Слайд 4Решение.
Игральные кости – это кубики с 6 гранями. На первом
кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6
очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике.Т.е. всего различных вариантов 6×6 = 36.
Варианты (исходы эксперимента) будут такие:
1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
и т.д. ..............................
6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8.
2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
Всего 5 вариантов.
Найдем вероятность: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,14.
282853
Слайд 5В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того,
что орел выпадет ровно один раз.
Решение.
Всего 4 варианта: о; о
о; р р; р р; о. Благоприятных 2: о; р и р; о.
Вероятность равна 2/4 = 1/2 = 0,5.
282854
Ответ: 0,5.
Слайд 6В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России,
7 из США, остальные − из Китая. Порядок, в котором
выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.Решение.
Всего участвует 20 спортсменок,
из которых 20 – 8 – 7 = 5 спортсменок из Китая.
Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна 5/20 = 1/4 = 0,25.
Ответ: 0,25.
282855
Слайд 7В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5
подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля
насос не подтекает.Решение:
1000 – 5 = 995 – насосов не подтекают.
Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна
995/1000 = 0,995.
Ответ: 0,995.
282856
Слайд 8Решение:
100 + 8 = 108 – сумок всего (качественных
и со скрытыми дефектами).
Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной,
равна 100/108 = 0,(925) ≈ 0,93.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,93.
282857
Слайд 9В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии,
7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5
− из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.Ответ: 0,36.
282858
Решение:
Всего участвует 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна
9/25 = 36/100 = 0,36.
Слайд 10Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов −
первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым
и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?Ответ: 0,16.
285922
Решение:
В последний день конференции запланировано
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов.
Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.
Слайд 11Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений − по
одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные
распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?Ответ: 0,225.
285923
Решение:
В третий день конкурса запланировано
(80 – 8) : 4 = 18 выступлений.
Вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна
18/80 = 9/40 = 225/1000 = 0,225.
Слайд 12На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России
и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность
того, что восьмым окажется доклад ученого из России.Ответ: 0,3.
285924
Решение:
Всего участвует 3 + 3 + 4 = 10 ученых.
Вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России, равна 3/10 = 0,3.
Слайд 13Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на
игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате
участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?Ответ: 0,36.
285925
Решение:
Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России.
Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
Слайд 14В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11
из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что
в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.Ответ: 0,2.
285926
Решение:
Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике, равна 11/55 =1/5 = 0,2.
Слайд 15В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10
из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что
в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.Ответ: 0,6.
285927
Решение:
25 – 10 = 15 – билетов не содержат вопрос по неравенствам.
Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна
15/25 = 3/5 = 0,6.
Слайд 16На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди
них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая.
Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.Ответ: 0,36.
285928
Решение:
Всего участвует 25 спортсменов.
Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
Слайд 17Решение:
Элементарное событие в этом эксперименте – участник, который выиграл
жребий.
Перечислим их: (Вася), (Петя), (Коля) и (Леша).
Общее число элементарных
событий N равно 4.
Событию А ={жребий пал на Петю} благоприятствует только одно элементарное событие (Петя).
Поэтому N(A) = 1. Тогда Р(А) = N(A)/N = ¼ = 0,25
Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.
Ответ: 0,25.
320169
Слайд 18В чемпионате мира участвует 16 команд. С помощью жребия их
нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой.
В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе.
Ответ: 0,25.
320170
Решение:
Пусть элементарный исход — это карточка, выбранная капитаном российской команды.
Поскольку карточек 16, то N = 16 .
Событию A = {команда России во второй группе} благоприятствуют четыре карточки с номером 2,
то есть N(A) = 4.
Тогда P(A) =4/16 =0,25.
Слайд 19Решение:
На клавиатуре телефона 10 цифр, из них 5 четных: 0,
2, 4, 6, 8. Поэтому вероятность того, что случайно будет
нажата четная цифра равна 5/10 = 0,5.На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?
Ответ: 0,5.
320178
Слайд 20Решение:
Натуральных чисел от 10 до 19 десять,
из них на три делятся три числа: 12, 15, 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10 = 0,3.
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
Ответ: 0,3.
320179
Слайд 21Решение:
Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность
быть выбранным равна 2/5 = 0,4.
В группе туристов 5 человек. С помощью
жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?Ответ: 0,4.
320181
Слайд 22Решение:
Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия
«Физиком», другую сторону монеты обозначим «0».
Тогда благоприятных комбинаций три: 110,
101, 011, N(A)=3а всего комбинаций: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, N=23=8
Тем самым, искомая вероятность равна: Р(А) = 3/8=0,375
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
Ответ: 0,375.
320183
Слайд 23Решение:
Сумма очков может быть равна 5 в четырех случаях:
«3
+ 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 +
1».Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?
Ответ: 4.
320184
Слайд 24Решение:
Всего возможных исходов — четыре: ОО, ОР, РО, РР. Благоприятным
является один: ОР.
Следовательно, искомая вероятность равна 1/4 = 0,25.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл,
а во второй — решка).
Ответ: 0,25.
320185
Слайд 25На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из
заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что
группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.Ответ: 0,33.
320186
Слайд 26В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512
мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите
до тысячных.Ответ: 0,498.
320189
Слайд 27Решение:
В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., т.е. N(A)=30.
Всего
в самолете 300 мест, т.е. N=300.
Поэтому вероятность того, что
пассажиру В. достанется удобное место равна Р(А)=30/300 = 0,1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Ответ: 0,1.
320190
Слайд 28Решение:
Всего участников 250, т.е. N=250.
В запасную аудиторию направили 250 − 120 − 120 = 10
человек, N(A)=10. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал
олимпиаду в запасной аудитории, равна P(A)=10/250 =1/25= 4/100= 0,04.На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Ответ: 0,04.
320191
Слайд 29В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей
и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по
13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.Ответ: 0,48.
320192
Слайд 30В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей:
27 из них чёрные с жёлтыми надписями на
бортах, остальные — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.Ответ: 0,46.
320193
Слайд 31В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов
забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок,
в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.Ответ: 0,2.
320194
Слайд 32Решение:
Частота события «гарантийный ремонт» равна 51 : 1000 = 0,051. Она отличается от предсказанной
вероятности на
0,051 - 0,045 = 0,006.
Вероятность того, что новый
DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?Ответ: 0,006.
320195
Слайд 33Решение:
В кармане было 4 конфета, а выпала одна конфета. Поэтому
вероятность этого события равна одной четвертой.
В кармане у Миши было
четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».Ответ: 0,25.
320208
Слайд 34Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и
перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув
отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.Ответ: 0,25.
320209
Слайд 35 Два события, называются совместными,
если они
могут произойти одновременно,
при одном исходе эксперимента и
несовместными,если они не могут происходить одновременно.
Пример: Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные.
События А и В называются противоположными,
если всякое наступление события А означает
ненаступление события В, а ненаступление события А – наступление события В.
Событие, противоположное событию А, обозначают
символом Ᾱ.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. P(A)+P(Ᾱ)=1.
Слайд 36 Суммой двух случайных событий А и В называется
случайное событие А+В, которое происходит, если происходит либо событие А,
либо событие В, либо события А и В одновременно.Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) =Р(А)+Р(В)
Вероятность суммы двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих
событий, уменьшенной на вероятность их
произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)
Слайд 37 Произведением событий А и В называют
событие, которое наступает тогда и только тогда, когда одновременно происходят
и событие А, и событие В.Произведение двух событий А и В обозначается А·В
Два события А и В, являются независимыми, если вероятность каждого из них (Р(А) и Р(В)) не зависит от наступления или не наступления второго.
Если события А и В независимые, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А·В) =Р(А)·Р(В)
Слайд 38Решение:
Введем обозначения для событий:
А1 = {стекло выпущено на первой фабрике},
А2 = {стекло
выпущено на второй фабрике},
В = {стекло окажется бракованным},
= {стекло не
окажется бракованным}.
По условию задачи составим дерево и найдём необходимые вероятности.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая –– 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая –– 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Ответ: 0,019.
Ω
А2
В
В
А1
0,03
0,55
0,45
0,97
0,99
0,01
319353
Слайд 39Решение:
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от
друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.
Если
гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.Ответ: 0,156.
319355
Слайд 40Решение:
Определим события:
А = {вопрос на тему «Вписанная окружность»}, Р(А)=0,2.
В = {вопрос на
тему «Параллелограмм»}, Р(В)=0,15. События А и В несовместны, так как по условию в списке нет
вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А)+Р(В)=0,2 + 0,15 = 0,35.На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Ответ: 0,35.
320171
Слайд 41Решение:
Определим события
А = {кофе закончится в первом автомате},
В = {кофе
закончится во втором автомате},
А ∙ В = {кофе закончится в
обоих автоматах},А + В = {кофе закончится хотя бы в одном автомате}.
По условию задачи P(A)=P(B)=0,3 и P(A B)=0,12 События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Ответ: 0,52.
320172
Слайд 42Решение:
Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому
события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и
т.д. независимы.Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2.
1 выстрел: 0,8
2 выстрел : 0,8
3 выстрел : 0,8
4 выстрел : 0,2
5 выстрел : 0,2
По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна:
0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,02.
320173
Слайд 43В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может
быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите
вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.Ответ: 0,9975.
320174
Слайд 44Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы
в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в
течение года хотя бы одна лампа не перегорит.Ответ: 0,91.
320175
А
В
В
0,3
0,3
0,3
0,7
0,7
0,7
Слайд 45Решение:
Введем обозначения для событий:
A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух
лет»,
В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда
A + B = «чайник прослужит больше
года».
События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B), откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89. Тогда: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Ответ: 0,08.
320176
Слайд 46Решение: (другой способ)
Будем рассматривать как геометрическую вероятность.
Срок службы -
100%.
3%
97%0__________1год______________________________100%
11% 89%
0____________________2года___________________100%
Нас интересует промежуток от года до двух лет.
11% - 3% = 8%
8%= 0,08
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Ответ: 0,08.
320176
Слайд 47Решение:
Введем обозначения для событий:
А1 = {яйцо поступило из первого хозяйства},
А2 = {яйцо
поступило из второго хозяйства}, H = {яйцо имеет высшую категорию}. Обозначим буквой p искомую вероятность
события А1 и нарисуем дерево.
По условию величина P(H) равна 0,35.
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц из этих двух хозяйств. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Ответ: 0,75.
320177
Слайд 48Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9,
если стреляет из пристрелянного
револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.Ответ: 0,52.
320180
А
П
П
Н
Н
0,4
0,9
0,2
0,6
0,1
0,8
Слайд 49При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел
по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный
выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?Ответ: 5.
320187
Слайд 50Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать
хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает,
она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.Ответ: 0,32.
320188
Слайд 51При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр
будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна
0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.Ответ: 0,035.
320196
Слайд 52Решение:
Рассмотрим события:
A = «учащийся решит 11 задач» и
В =
«учащийся решит больше 11 задач».
Их сумма — событие A + B = «учащийся решит
больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.
Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
Ответ: 0,07.
320198
Слайд 53Решение:
Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и
русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо
этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть М, Р, И и О — это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Поступление произойдет, если одновременно произойдут события М, Р и (И+О):Р(МР(И+О))=Р(М)Р(Р)Р(И+О). Т.к. события И и О совместные, то Р(И+О)=Р(И)+Р(О)-Р(ИО)=0,7+0,5 - 0,70,5=0,85.
Р(МР(И+О))=Р(М)Р(Р)Р(И+О)=0,60,80,85=0,408.
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Ответ: 0,408.
320199
Слайд 54На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При
контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают
в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.Ответ: 0,978.
320200
Слайд 55На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При
контроле качества продукции выявляется 90% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают
в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.Ответ: 0,978.
320200
Слайд 56В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом
с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент
времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).Ответ: 0,027.
320201
Слайд 57Решение:
Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1.
Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2.
Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.
По отзывам покупателей Иван Иванович оценил
надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Ответ: 0,02.
320202
Слайд 58Решение:
Рассмотрим события
A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и
В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров».
Их
сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
Ответ: 0,38.
320203
Слайд 59Решение:
1) Команда «Статор» начинает игру с мячом обозначим «+»,
начинает игру
другая команда обозначим «-».
«Статор» играет с тремя командами. Возможные комбинации:
(+++); (++-); (+-+); (-++); (+--); (--+); (-+-); (---)
Всего 8 вариантов. Благоприятных - 1.
Р(А)=1/8= 0,125
2) Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
Ответ: 0,125.
320205
Слайд 60Решение:
Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4
варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О
— отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.
Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Ответ: 0,392.
320206
Слайд 61Решение:
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А)
пациент болеет гепатитом, его анализ верен;
B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:Р(А)=0,9 0,05=0,045
Р(В)=0,01 0,95=0,0095
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,045+0,0095=0,0545.
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Ответ: 0,0545.
320207
Слайд 62Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине
выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность
того, что обе батарейки окажутся исправными.Ответ: 0,8836.
320210
А
А
А
0,06
0,06
0,06
0,94
0,94
0,94
Слайд 63Решение:
Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате
событий:
A = «батарейка действительно неисправна и забракована справедливо» или
В = «батарейка исправна, но по ошибке забракована».
Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,020,99+0,980,01=0,0198+0,098=0,0296.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.
Ответ: 0,0296.
320211
Слайд 64На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке
«Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на
каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.Ответ: 0,0625.
320212
Слайд 65В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня
и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по
3 человека в каждой. Найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.Ответ: 0,1.
500997
Слайд 66Решение:
Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять
из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно
сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:Другое рассуждение. Вероятность того, что Петя взял пятирублевую монету, затем десятирублевую, и затем еще одну десятирублевую (в указанном порядке) равна
Поскольку Петя мог достать пятирублевую монету не только первой, но и второй или третьей, вероятность достать набор из одной пятирублевой и двух десятирублевых монет в 3 раза больше. Тем самым, она равна 0,6.
В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Ответ: 0,6.
500998
Слайд 67Решение:
Двухрублевые монеты могут лежать в одном кармане, если Петя переложил
в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые
не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
Ответ: 0,4.
500999
Слайд 68Используемые материалы
ЕГЭ 2013. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь
/ Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко.− М.: МЦНМО,
2013. − 48 с.ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 543 с.
http://mathege.ru/or/ege/Main.html − Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года
