Системы линейных уравнений. Системы однородных уравнений

(равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти

с помощью элементарных преобразований системы.
Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются преобразования следующего вида:
1) умножение обеих частей уравнения на число α ≠ 0;
2) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число α ≠ 0;
3) перестановка двух уравнений;
4) вычеркивание одного из двух пропорциональных или одинаковых уравнений.

исключается неизвестное x1;
б) из всех уравнений системы кроме

первого и второго исключается неизвестное x2;
в) из всех уравнений системы кроме первого, второго и третьего исключается неизвестное x3 и т.д.
В результате система будет приведена к одному из следующих двух видов.
1) Первый возможный вид:

и имеет единственное решение.
Находим решение:
а) из последнего уравнения системы

(5):

б) из предпоследнего уравнения системы (5):

И т.д. получим последовательно xn-2, xn-3, … , x1.

исходная система) совместна и имеет множество решений.
Находим решение:
Переменные,

коэффициенты при которых входят в базисный минор, назовем зависимыми. Остальные переменные назовем независимыми (или свободными).
Пусть, например, x1,x2, …, xr – зависимые, xr+1,xr+2, …, xn – свободные.

через свободные:
Система (8), в которой зависимые переменные выражены через

свободные, называется общим решением системы (6) (а значит и исходной системы).
Придавая свободным переменным в общем решении конкретные значения, мы можем записать бесконечно много решений системы.

уравнений с n неизвестными, т.е. систему вида
Решение x1 =

x2 = … = xn = 0 называют нулевым (тривиальным).
Если а) m = n и |A| = 0 или б) m < n , то r(A)Пусть c1,c2, …, cn и d1,d2, …, dn – два решения системы линейных уравнений (1), α,β– числа. Линейной комбинацией этих решений с коэффициентами α и β будем называть упорядоченную последовательность n чисел вида
αc1+ βd1, αc2 + βd2, …, αcn + βdn

уравнений тоже является решением этой системы.
ТЕОРЕМА 2. Пусть r –

ранг матрицы системы (1). Если система имеет нетривиальные решения, то найдутся n-r решений таких, что любое другое ее решение будет их линейной комбинацией.
Решения, о которых идет речь в теореме 2, называются фундаментальной системой решений.
АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ФСР:
1) находим общее решение системы;
2) записываем любой отличный от нуля определитель Δ , порядка n – r;
3) записываем n – r решений системы, беря в качестве значений для свободных неизвестных элементы строк определителя Δ. Полученные таким образом n–r решений будут являться фундаментальной системой решений системы.

Систему линейных однородных уравнений вида
называют соответствующей системе (2).

(2). Любое другое решение системы (2) может быть записано как

сумма решения c1,c2, …, cn и некоторого решения системы (3). Иначе говоря, справедливо равенство:
X = α1C1 + α2C2 + … + αn-rCn-r + C, (4)
где X – матрица-столбец неизвестных, C1,C2, …, Cn-r – матрицы-столбцы, элементами которых служат решения из фср системы (3), C – матрица-столбец, элементами которой является решение c1,c2, …, cn.