Способы решения уравнений и неравенств (5-9 классы)

учитель РФ, лауреат премии и грантов мэрии Москвы в области

образования, к.п.н., с.н.с., стаж работы в школе 44 года, один из авторов учебников математики серии «МГУ-школе», С.М. Никольский и др., Просвещение.
avshevkin@mail.ru www.shevkin.ru

систем на примере УМК С.М. Никольского и др.

Когда в СССР только намечалась реформа математического образования 1970-х годов, то хотели найти, за счёт какого материала можно раньше ввести многие понятия, функции, например.
Решили убрать арифметические способы решения текстовых задач и сразу учить детей решать задачи при помощи уравнения. Это было предложение учёных, желавших повысить научный уровень обучения.

что обучение математике в школе проводится вопреки «правилам оптимальной стратегии»:

сначала детей учат решать задачи арифметически, а потом приходится затрачивать силы на «переучивание абстрактному мышлению в алгебраических образах».
На самом деле всё не так. Большие учёные хотели, как лучше. А мышление младших школьников (1-6 классы) предметно. Обучение детей сразу на уровне абстракции – без опоры на опыт предметной деятельности — неэффективно. Кроме того, до введения абстрактных понятий надо бы развить мышление и речь.

Всего у них 30 голов и 70 ног. Определите число

фазанов и число кроликов.
Можно составить уравнение
4x + 2(30 — x) = 70, где x — число кроликов, и получить ответ. На сайте гдз.ру применяют систему линейных уравнений, обозначая через х кроликов, а не их количество.
А как учили детей более 100 лет назад?

даче:
— Машенька, что вы изучаете на математике?
— Уравнения.

— Ишь ты! А сможешь решить уравнение 3х + х = 12?
Машенька подумала и сказала: «Первый х равен 2, а второй 6».
О чём говорит этот пример? — О том, что напрасно взрослые навязывают так рано уравнения детям. Тогда, когда их мышление ещё не подготовлено к работе с абстрактными объектами (уравнениями). Они ещё не научены рассуждать с предметами (решать задачи).

класса без использования терминологии. Там есть такое задание.
132. Вычислите

неизвестное x, удовлетворяющее равенству: х + 209 = 700…
Это работа над развитием речи учащихся: «Чтобы найти неизвестное слагаемое…» Аналогично надо искать другие неизвестные компоненты – именно с целью развития речи, усвоения «речевых заготовок» вида «чтобы… надо…».
Затем уравнения появляются в виде пропорций. Без терминов «уравнение», «корень уравнения».

10).
Вводится понятие уравнения первой степени, линейного уравнения, потом

систем уравнений, способы их решения. Применение уравнений и систем для решении задач.
В 8 классе идёт традиционная работа с квадратными, рациональными уравнениями и системами. Есть пункты
5.7*. Решение рационального уравнения при помощи замены неизвестного.
5.8*. Уравнение-следствие.
В 2019 году рациональные уравнения (с текстовыми задачами) хотели исключить из требований ФГОС.

такие уравнения.
На цветной плашке номера необязательных задач.

правдоподобная ситуация.
Задача 2. Учитель хочет сочинить несколько вариантов

однотипных задач для самостоятельной работы. Определите все возможные натуральные значения a, при каждом из которых ответ в задаче — число натуральное. «Первая бригада может выполнить работу за 30 дней. Вторая бригада может выполнить ту же работу за a дней. За сколько дней эту работу выполнят две бригады при совместной работе, если вторая бригада работает лучше первой?»

8

задач к задачам с параметром».
Линейные уравнения с параметром есть

в дидактических материалах для 7 класса (п. 23*).
Системы линейных уравнения с параметром (п. 24*), Графический способ решения задач с параметром (п. 28*) есть в дидактических материалах для 8 класса.
Линейные неравенства с параметром (п. 3*), Системы линейных неравенств с параметром (п. 5*), есть в дидактических материалах для 9 класса.
Разбор решений аналогичных заданий есть в первой части дидактических материалов. Посмотрим для примера в первую часть ДМ-7.

8

= 12 для каждого значения a.
Решение. Для каждого значения a

данное уравнение можно переписать в виде: 2x = 3a + 12.
Разделив обе части этого уравнения на 2, получим:
x = 1,5a + 6.
Таким образом, для каждого значения a данное уравнение имеет корень x = 1,5a + 6.
Ответ. x = 1,5a + 6 для каждого значения a.

8

11x – 3a = 10 имеет корень x = 5?
Решение.

Так как число 5 является корнем данного уравнения, то при некотором значении a верно равенство:
11 ∙ 5 – 3a = 10,
из которого найдём это значение: a = 15.
Следовательно, при a = 15 данное уравнение имеет корень 5.
Ответ. Уравнение имеет корень 5 при a = 15.

8

2(x + 5) – ax = 3 не имеет корней?
Решение.

Для каждого значения a данное уравнение можно переписать в виде: (2 – a)x = –7.
Если a = 2, то уравнение имеет вид 0x = –7, оно не имеет корней.
Ответ. При а = 2 уравнение не имеет корней.

8

1.1. Неравенства первой степени с одним неизвестным.
1.2. Применение

графиков к решению неравенства первой степени с одним неизвестным.
1.3. Линейные неравенства с одним неизвестным.
1.4. Системы линейных неравенств с одним неизвестным.
1.5*. Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.
Подробно разбирается материал, посвящённый неравенствам второй степени с одним неизвестным (пп. 2.1-2.5). Дальше идёт метод интервалов, который хотели исключить в стандартах при обсуждении в 2019 году. Всё достаточно традиционно, кроме момента появления нестрогих неравенств.

8

3.3. Системы рациональных неравенств.
3.4. Нестрогие неравенства.
3.5*. Замена неизвестного

при решении неравенств.
Почему так поздно нестрогие неравенства. Многие считают, что их надо давать «параллельно» с соответствующими строгими неравенствами.
Мы предлагаем нестрогие неравенства изучать после изучения решения всех видов неравенств. Нестрогое неравенство это совокупность уравнения и строгого неравенства. «свёрнутое» их решение по аналогии со строгими неравенствами в простых случаях к ошибкам не приводит.

8

ученик нестрогое неравенство воспринимает именно как неравенство, решает его по

аналогии со строгим неравенством, определяет знак выражения на интервалах (метод интервалов). Вот эта аналогия и приводит к ошибкам.
А нестрогое неравенство на самом деле и не неравенство вовсе, а совокупность уравнения и строгого неравенства. Да и при решении строгого неравенство мы сначала решаем уравнение для определения границ интервалов.

8

раз на материале 10-11 классов, ЕГЭ.

Электронная почта: Шевкин Александр Владимирович

avshevkin@mail.ru.
сайт www.shevkin.ru
Канал НАБЛЮДАТЕЛЬ на Яндекс Дзен  

8