Способы задания и свойства числовых последовательностей. Бесконечно убывающая

уникальный номер.
Например, для нашей последовательности:
Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь

буквой (например,  a), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена:  a1, a2 ..., a10, ..., an.

называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у

= f (n) или у1, у2, у3,…, уn,…, или (уn).

(аn) – последовательность
а1 ; а2 ; а3 ;…. аn - члены последовательности Первый n-ый
член послед. член послед.

Последовательность

первом случае это монотонно неубывающая, во втором – монотонно невозрастающая

последовательность.
Если an+1>an или an+1< an для всех n, то говорят, что последовательность {an} строго монотонна (возрастает в первом случаем и убывает во втором).
Последовательность {an} называется ограниченной, если существуют такие числа c и C, что для всех членов последовательности выполняются неравенства c ≤ an ≤ C.
Ограниченной сверху называется последовательность, для которой существует такое число C, что для всех членов последовательности выполняется неравенство an ≤ C.
Ограниченной снизу называется последовательность, для которой существует такое число c, что для всех членов последовательности выполняется неравенство an ≥ С.

Если говорят, что последовательность ограничена, это означает, что она ограничена и сверху и снизу. 

последовательность называется периодической, а T-длиной её периода. 

Используя понятия монотонности, ограниченности и периодичности,

можно описать немало простейших свойств последовательностей. Вот некоторые из них:
Если последовательность {an} монотонно возрастающая, то последовательность {-an} монотонно убывающая, и наоборот.
Если последовательность {an} монотонно невозрастающая, то последовательность {-an} монотонно неубывающая, и наоборот. 

Монотонно возрастающая ограниченна снизу, монотонно убывающая – сверху.
Монотонно возрастающая или монотонно убывающая последовательность не может быть периодической.
Периодическая последовательность всегда ограничена.

последовательность натуральных чисел.
2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных

чисел.
1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.
1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.
2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.

когда закономерности между элементами последовательности нет.
Пример 1. Последовательность простых чисел:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… .
Пример 2. Произвольный набор чисел:
1,4,12,25,26,33,39,… .
Пример 3. Последовательность четных чисел: 2,4,6,8,10,12,14,16,… .

9, 6…
Продолжите ряд 77, 49, 36, 18…
Примеры последовательностей.

9, 6…
Продолжите ряд 77, 49, 36, 18…
Ответ: Перемножаются

две цифры, входящие
в предыдущее число

Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7

Примеры последовательностей.

n-ого члена.
Например,
yn=n2 – аналитическое задание последовательности 1, 4, 9,

16, …
2) yn=С – постоянная (стационарная) последовательность
2) yn=2n – аналитическое задание последовательности 2, 4, 8, 16, …

том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-ый член, если известны

ее предыдущие члены
арифметическая прогрессия задается рекуррентными соотношениями a1=a, an+1=an + d
геометрическая прогрессия b1=b, bn+1=bn * q

89, 144, 233, 377, 610…
Числа Фибоначчи.
Элементы числовой последовательности, в

которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

Леонардо Фибоначчи - итальянский математик.
(родился около 1170 — умер после 1228),

Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.

располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха.
Семечки упорядочены
в два

ряда спиралей,
один из которых идет
по часовой стрелке,
другой против неё.

9, 11, … возрастающая арифметическая прогрессия, у которой

d = 2.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

an+1 = an + d ,  n є N

d =  an+1 - an

-убывающая
геометрическая прогрессия,
у которой q

= 1/3.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

bn = bn - 1 · q

bn = b1 · qn - 1 

от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в

первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2.

первой минуты одна из них делится на две. Запишите колонию,

рожденную одной бактерией за семь минут.(см. рисунок).

1). Выпишите последовательность в соответствии с условием задачи.

2) Найдите частное от деления последующего члена на предыдущий член.

3).Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.

- последовательность,
b1 =1; b2=2;

b3=4; b4=8; b5=16; b6 =32; b7 =64;

2) Найдите частное от деления последующего члена на предыдущий член.
b3 : b2 =4 : 2=2 ;
b4 : b3 =8 : 4=2;
b5 : b4 = 16 : 8=2; и т.д. bп+1: b п = q q -знаменатель прогрессии.
q = b2:b1= b3:b2=b4:b3=…= bп+1: b п
 
3).Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.
b2 = 2b1
b3= 2 b2
b4= 2b3…..
bп+1 = q b п
Такую последовательность в математике называют геометрической прогрессией.

4; 7; 10; 13; …


В порядке возрастания
положительные нечетные
числа


10;

19; 37; 73; 145; …

В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1

6; 8; 16; 18; 36; …

В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5

½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;

Увеличение
на 3

Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза

1; 3; 5; 7; 9; …

5; 10; 15; 20; 25; …

Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

10; 13; …


В порядке возрастания
положительные нечетные
числа


10; 19; 37;

73; 145; …

В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1

6; 8; 16; 18; 36; …

В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5

½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;

Увеличение
на 3

Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза

1; 3; 5; 7; 9; …

5; 10; 15; 20; 25; …

Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1

какие арифметической:
3; 6; 12; 24; 48; 56…
1; 12; 23; 34; 45 …
−99; 33; −11…
−6; 5; 17; 28; 39…

64; 16; 4; 1…
2; 4; 8; 18…

является ни арифметической, ни геометрической прогрессиями - 1, 5, 7.

отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен

предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Как вы думаете, каким может быть  q?
Положительным и отрицательным, но не нулем. Допустим, что  q у нас положительное. Пусть в нашем случае  q=3, а b1=4.
Чему равен второй член  b2 и  b3?
b2=4⋅3=12
b3=12⋅3=36
Соответственно, q>0, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны.
А что если  q отрицательное? Например, q=−3, а b1=4. Чему равен второй член  b2 и  b3?
b2=4⋅(−3)=−12
b3=−12⋅(−3)=36
Если  q<0, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются. 

q – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии.

же как и в арифметической найти ее 6 член. Как вы уже

догадываетесь, есть два способа его нахождения.
Последовательно умножаем каждый член на  q.
b2=b1⋅ q =4⋅−3=−12
b3= b1⋅ q ⋅ q = b1⋅ q2 =−12⋅(−3)=36
b4= b1⋅ q ⋅ q⋅ q= b1⋅ q3 =36⋅(−3)=−108
b5= b1⋅ q4 =−108⋅(−3)=324
b6= b1⋅ q5 = 324⋅(−3)=−972
Вывод: Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером, то мы умножаем первый член геометрической прогрессии b1 на знаменатель q в степени, которая на 1 единицу меньше, чем порядковый номер искомого числа.

b4=4⋅(−3)4−1=4⋅(−3)3=−108
b6=b1⋅q 6−1
b6=4⋅(−3)6−1=4⋅(−3)5=−972

Приведем формулу в общий вид и получим:
bn=b1⋅qn−1 - уравнение членов геометрической прогрессии.

q может быть как больше, так и меньше нуля, однако, есть

особые значения  q при которых геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. При −1
Для начала запишем какую-нибудь геометрическую прогрессию, состоящую из 5 членов.
Допустим,  b1=1, а  q=1/2, тогда:
bn=b1⋅q n−1
b2=1⋅1/2=1/2
b3=1/2⋅1/2=1/4
b4=1/4⋅1/2=1/8
b5=1/8⋅1/2=1/16
Мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего в 1/2 раза, но будет ли какое-либо число bn=0? Вы сразу же ответите – «нет». Вот поэтому и бесконечно убывающая – убывает, а нулем никогда не становится.

Как найти b3, зная b2 и b4?
Умножим
b2⋅b4=b1⋅q ⋅b1⋅q3= b12⋅q4 

1) 

b2⋅b4=b12⋅q4 
2)  b3=b1⋅q2​ следовательно b3=b2⋅b4 Почему?
((из 1) следует b12= b2⋅b4/ q4 , следовательно b1=b2⋅b4q4 подставим b1 в 2) и сократим q))

 

свойство членов геометрической прогрессии

ходить в школу. Каждый день Вася заражает двух человек, которые, в

свою очередь, заражают еще двух человек и так далее. Всего в классе 31 человек. Через сколько дней гриппом будет болеть весь класс?
Итак, первый член геометрической прогрессии это Вася, то есть 1 человек. 2 -ой член геометрической прогрессии, это те два человека, которых он заразил в первый день своего прихода. Общая сумма членов прогрессии равна количеству учащихся 5А. Соответственно, мы говорим о прогрессии, в которой:

Весь класс заболеет за 5 дней.