Стохастическая модель

совершенно случайных и совершенно детерминированных процессов. Но есть процессы, на

которые случайные факторы влияют существенно, а есть такие процессы, где влияние случайности настолько мало, что ею можно пренебречь. Между этими крайностями лежит множество процессов, где случайный фактор оказывает большую или меньшую роль. Учитывать или не учитывать случайный фактор, зависит от того, какова цель моделирования.

(т.е. если зафиксировать t), представляет собой обычную случайную величину с

определенной плотностью вероятности. В результате проведения опыта (т.е. реализация X(t) ) случайная функция превращается в обычную функцию. Например (рис. 1) случайная функция обозначает изменение напряжения в сети (допустим оно должно колебаться около значения u0. Тогда реализация случайной функции будет представлять собой детерминированную функцию, колеблющуюся около значения u0. Если было проведено несколько экспериментов, то получается семейство реализаций (рис. 2).

Случайная функция, параметром которой является время t, называется случайным процессом.

Рис. 1

Рис. 2

Сечение

броуновское движение молекулы можно описать с помощью двух случайных функций

X(t) и Y(t), описывающих положение частицы на плоскости. Такой случайный процесс называется векторным. При

фиксированном t такой процесс представляет собой систему двух
случайных величин, изображаемую случайным вектором Q(t) (см. рис. 1). При изменении t точка Q будет блуждать по плоскости (см. рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

случайным процессом параметров. Например, полет ракеты характеризуется ее координатами (X(t),Y(t),Z(t)),

центра массы ракеты, объемом топлива, ориентацией (углами наклона) и т.д. В этом случае «блуждание» точки, описывающей состояние объекта или системы, в моменты времени t будет происходить в многомерном фазовом пространстве.

Случайный процесс, блуждающий по состояниям (процессы с качественными состояниями). Когда объект или система описываются счетным множеством состояний, в одном из которых система может находиться в момент времени t. Такой процесс описывается с помощью теории марковских процессов.

которой в любой момент t представляет собой непрерывную случайную величину

(с.в.), т.е. множество значений с.в. непрерывно.

Процесс с дискретными состояниями – процесс, сечение которого в любой момент времени t, представляет собой дискретную с.в., т.е. множество значений с.в. либо конечно, либо счетно.

котором объект может изменять состояние в любой момент времени.
Процесс с

дискретными временем – процесс, при котором объект может менять состояние в определенные моменты времени.

Таким образом, все случайные процесс можно разделить на четыре класса:
1а. С дискретным состояниями и дискретным временем (цепи Маркова).
1б. С дискретным состояниями и непрерывным временем (непрывные марковские процессы).
2а. С непрерывными состояниями и дискретным временем.
2б. С непрерывными состояниями и непрерывным временем.

числовыми характеристиками с.в.: мат. ожидание, дисперсия, ковариация, начальные и центральные

моменты и т.д. Так, и для случайного процесса можно выделить аналог числовой характеристики с.в., только таким характеристиками будут функции аргумента t:

– это функция, которая в любой момент времени t принимает

значения, являющиеся случайной величиной (в случае P-схемы t – дискретная величина).

Реализация случайного
процесса X(t) :
одна из возможных
траекторий функции,
описываемой X(t).

перехода из одного состояния в другое.
Частица, совершающая броуновское движение, меняет

свое состояние случайным образом.
ЭВМ в процессе эксплуатации: может пребывать в состояниях: работает нормально; имеет необнаруженную неисправность; неисправность обнаружена, ищется ее причина; ремонтируется.

в стационарном состоянии (стационарные вероятности), т.е. состояние объекта, когда время

стремится к бесконечности (t).

t

0

- 1922)
Оставил труды в области Теории вероятностей и случайных процессов,

математическом анализе и теории чисел.

Не путать с А.А. Марковым младшим (сын), создателем алгорифмов Маркова.

а дуги – вероятность перехода из одного состояния в другое.
Sk

- состояние объекта моделирования
ij- вероятность переходи из i-го состояния в j-ое

Марковский процесс

система меняет свое состояние в определенные такты времени (P-схема)



Непрерывные цепи

Маркова, где система меняет свое состояние в произвольный момент времени (q-схема)

t

t0

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t

t0

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

что произошло до этого произошло другое событие.
Условная вероятность записывается в

виде:

Р(A/B) или Р(A|B), где A – событие, B – событие, которое уже произошло.

Условная вероятность вычисляется по формуле:

Р(A/B)=Р(AB)/ Р(B),
где Р(AB) – вероятность того, что произойдут сразу два события A и B.

Если Р(A/B)= Р(A)*Р(B), то события A и B независимы.

живых организмов в дискретные моменты времени t=0,1,2,… . В единицу

времени один организм производит случайное количество потомков X. pn – вероятность того, что X=n. Xt – число особей в момент t. Стохастическая последовательность X1, X2, … , Xt образует цепь Маркова.
2. Случайный автомат (автомат, который случайным образом переходит из одного состояния в другое; к дугам, показывающим переход, приписывается вероятность перехода из одного состояния в другое). Переход в новое состояние происходит в определенные моменты времени.
3. Моделирование надежности работы прибора. В систему входит n приборов. Состояния S0 – нет исправных приборов, S1 – один исправный прибор,…, Sn – все приборы исправны. Состояние прибора проверяется регулярно в определенные моменты времени.

вероятностей состояний (показывает вероятность того, что система будет находиться в

i-м состоянии). (i) – это сечение случайного процесса.

единице!!!
=1
=1
=1
=1

шага моделирования.
Моделирование представляет собой последовательность вычислений по формуле * (шаг

моделирования). После применения формулы перепишем значение из P’ в P (т.е. P=P’) и совершим еще один шаг моделирования. Вычисления продолжаются до тех пор, пока среднеквадратичное отклонение между P и P’ не будет меньше заданного значения  (||P-P’||) < .

шаге применяется одна и та же таблица вероятностей перехода.
Неоднородная цепь

– где для каждого шага существует своя таблица вероятностей перехода (если моделируется n переходов, то необходимо n матриц (P1,P2,…,Pn).

n

состояния (множества состояний). Из таких вершин не выходит ни одна

дуга. В установившемся режиме вероятность пребывания в таком состоянии равна 1. Необходимым условием того, что состояние i является поглощающим является: pii=1.

Неразложимая цепь – Не содержит поглощающих состояний или поглощающих подмножеств узлов. Такие цепи описываются сильно связным графом.

ПОГЛОЩАЮЩЕЕ СОСТОЯНИЕ

1

которой меняются периодически. В случае периодической цепи все состояний имеют

один и тот же период.

такой системы имеется возможность определить стационарные вероятности (т.е. вероятности событий

при времени, стремящимся к бесконечности (или числе шагов моделирования, стремящимся к бесконечности. Вероятности этих состояний не зависят от вероятностей системы в начальный момент.

P’=(0.8, 0.2, 0, 0); = 0.1633 (СКО);
2 шаг: P’=(0.64, 0.26,

0.1, 0); = 0.1143;
3 шаг: P’=(0.542, 0.258, 0.13, 0.07); = 0.0717;
4 шаг: P’=(0.4726, 0.2654, 0.129, 0.133); = 0.0543;
5 шаг: P’=(0.4168, 0.2804, 0.1327, 0.1701); = 0.0397;
6 шаг: P’=(0.3732, 0.2916, 0.1402, 0.195); = 0.03;
7 шаг: P’=(0.3407, 0.2984, 0.1458, 0.2151); = 0.0227;
8 шаг: P’=(0.3163, 0.3034, 0.1492, 0.2311); = 0.0172;

0.275, 0.125, 0.325); = 0.087;
2 шаг: P’=(0.2575, 0.3225, 0.1375, 0.2825);

= 0.039;
3 шаг: P’=(0.542, 0.258, 0.13, 0.07); = 0.072;
4 шаг: P’=(0.2473, 0.3257, 0.1613, 0.2657); = 0.018;
5 шаг: P’=(0.4168, 0.2804, 0.1327, 0.1701); = 0.0397;
6 шаг: P’=(0.2462, 0.3186, 0.1629, 0.2723); = 0.0057;
7 шаг: P’=(0.2458, 0.3175, 0.1593, 0.2774); = 0.0037;
8 шаг: P’=(0.2444, 0.3189, 0.1587, 0.2780); = 0.0012;

- E)=(0,0,…,0,1)T
=
6)
Заменим четвертую строку матрицы PT на единичную строку
P=
Решение:
=(0.24,0.32,0.16,0.28)

- E)=(0,0,…,0,1)T
=
6)
Заменим четвертую строку матрицы PT на единичную строку
P=
Решение:
=(0.24,0.32,0.16,0.28)

P’=(0.575 0.25 0.05 0.125); = 0.232 (СКО);
2

шаг: P’=(0.76 0.15 0.05 0.04); = 0.131;
3 шаг: P’=(0.885 0.062 0.03 0.023); = 0.09;
4 шаг: P’=(0.9432 0.0308 0.0124 0.0136); = 0.04;
5 шаг: P’=(0.97036 0.01704 0.00616 0.00644); = 0.0184;
6 шаг: P’=(0.985 0.0086 0.0034 0.0031); = 0.01;
7 шаг: P’=(0.992 0.00422 0.0017 0.00165); = 0.005

(марковских цепей):
Зафиксировать исследуемое свойство системы. Определение свойства зависит от

цели исследования. Например, если исследуется объект с целью получения характеристик надежности, то в качестве свойства следует выбрать исправность. Если исследуется загрузка системы, то - занятость. И
Определить конечное число возможных состояний системы и убедиться в правомерности моделирования по схеме дискретных марковских процессов.
Составить и разметить граф состояний.
Определить начальное состояние.
По рекуррентной зависимости или аналитическим способом определить искомые вероятности.

инженерные приложения. — Учеб. пособие для втузов. — 2-е
изд., стер.

— М.: Высш. шк., 2000. — 383 с:
2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. Пер. с англ. /Пер. И.И. Глушко; ред. В.И. Нейман. – М.: Машиностроение, 1979. – 432 с.