Тайное знание теории групп: При записи соотношения слова пишутся по кругу

разрезать в любом другом месте, получится равносильное соотношение

соотношение w = 1 является следствием соотношений wi

= 1 , то существует диаграмма в которой w написано на границе, а wi на клетках.

Это просто

Это сложнее

что её не разбить на доминошки.
Вернёмся к богоугодной олимпиадной подготовке

на доминошки есть, то соотношение выводится!

(2 3)
b
Тогда
С другой стороны
А это цикл длины 3!

10×10

или k делится на n.
Упражнение 2. Квадрат 6×6 нельзя

разбить на прямоугольниками 1×3 и уголок из трёх клеток.

стрельбы!
Утверждение. Всё, что решается раскрасками, решается и группами. Но не

наоборот.

Задача. Решите вашу любимую «раскрасочную» задачу о невозможности замощения через группы.

рассмотрите группу
с образующими
и соотношениями

1,2,9,11 mod 12 Задача 2. Тn не замощается палочками.
Допустим, что мы

можем класть плитки из вещества или антивещества. Можно ли замостить в этом случае так, чтобы после аннигиляции каждая клетка была покрыта ровно по разу? Задача 1’. Тn замощается Т2 (с возможным использованием антивещества) n 1 mod 3. Задача 2’. Тn замощается палочками (с возможным использованием антивещества) n = 0 или 8 mod 9.

Вывод. Не всё что делается некоммутативными группами, сделается раскраской!

антиплитками тогда и только тогда когда в клетках F можно

расставить числа так, чтобы сумма чисел под каждой плиткой была бы нулевой, а глобальная сумма – нет.

Задача 4. Докажите, что прямоугольник 5×7 нельзя покрыть уголками из трёх клеток так чтобы каждая клетка была бы покрыта в одинаковое число слоёв.

Задача 5. Докажите, что прямоугольник m×n нельзя покрыть плитками P так, чтобы каждая клетка была
покрыта в одинаковое число слоёв, тогда и только тогда, когда можно расставить числа в клетках так, чтобы глобальная сумма была бы положительна, а сумма чисел под каждой плиткой – отрицательна.

и 17 малиновых. Если 2 хамелеона разных цветов встречаются, то

они оба меняют свой цвет на третий. Может ли случиться, что в некоторый момент все хамелеоны на острове станут одного цвета?

Докажите, что для проверки возможности перехода достаточно совпадения попарных разностей количеств хамелеонов разных цветов по модулю 3.

Задача 7. По кругу стоят 44 дерева, на каждом - по чижу.
За каждую секунду один чиж смещается по часовой стрелке на 1, а другой - против.
Могут ли все чижи собраться на одном дереве? 

Когда из одного расположения чижей можно перейти к другому?

минусы. Известно, что в каждом подквадратике 2 на 2 стоит

четное число плюсов.  Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке или в одном столбце. Докажите, что все знаки можно сделать плюсами.

некоторыми из них. Нажатие кнопки меняет состояние соединенных с ней

лампочек на противоположные. Известно, что для каждого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из данного набора. Докажите, что все лампочки можно погасить.

Задача 10. На табло стоят лампочки, каждая кнопка соединена с некоторыми из них. Нажатие кнопки меняет состояние соединенных с ней лампочек на противоположные. Назовем инвариантом такой набор лампочек, что каждая кнопка, соединена с четным числом лампочек из данного набора. Докажите, что если изначально в каждом инварианте горит четное число лампочек, то все лампочки можно погасить.

и сложить квадрат?
(Разрезы – это прямые и дуги окружностей)

.

(б) Когда одну фигуру можно перекроить в другую? (Разрезы и участки границы – это прямые и дуги окружностей) .

Задача 12. Когда один многоугольник можно параллельно перекроить в другой?
(Кусочки можно параллельно переносить, но НЕ ПОВОРАЧИВАТЬ)

разбить на
(а) L-тетрамино,
(б) T-тетрамино,
(в) Y-пентамино?
Задача 14. Прямоугольник разбит на

T-тетрамино. Докажите что количество смотрящих вверх равно количеству смотрящих вниз?

Задача 15. Квадрат 6×6 разбит на тримино: палочки и уголки из трёх клеток. Докажите что количество уголков в любом направлении равно количеству уголком в противоположном направлении.