Тема 4. Теплопроводность

уравнением:

, –

одномерное дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности при не зависящем от температуры  и отсутствии внутренних источников теплоты.
В качестве начальных условий принимаем равномерное распределение температуры в начальный момент времени. В качестве граничных условий рассмотрим граничные условия III рода.

t) = Ф (x)  П (t) .

,
где С = С1  С2 , D = С1  С3 .

Константы C, D и k определим из краевых условий.

конвективной теплоотдачи

от окружающей среды с постоянной температурой Т0;

2) рассматриваем осесимметричную задачу, то есть граничные условия на обеих поверхностях пластины считаем одинаковыми.










Функция sin (kx) является нечетной, следовательно, для симметричной задачи константа D = 0.

.

Краевые условия:
Т (x, 0) = TН ,

.

Введем новую переменную – избыточную температуру:

 (x, t) = T0 – T (x, t) .

Для этой переменной формулировка задачи имеет вид:

.

,

.

Знак в правой части граничного условия изменился в связи с тем, что
.

Решение имеет тот же вид, так как уравнение теплопроводности имеет тот же вид:

.

например, при x=:



 .


Обозначим произведение k   =  и назовем эту величину характеристическим числом.

– критерий Био.

и астроном. Его первые работы были посвящены исследованию свойств газов. В 1811 г. открыл поляризацию света при преломлении, в 1815 – круговую поляризацию и установил закон вращения плоскости поляризации (закон Био), существование право- и левовращающих веществ. В 1820 г. совместно с Феликсом Саваром открыл закон, определяющий напряженность магнитного поля проводника с током (закон Био-Савара).
Био – автор широко известного «Курса общей физики» (1816). Его идеи о нематериальности теплоты, работы по теплопроводности, обработка математическим путем опытов над тепловым расширением тел и многое другое показывают, как он стремился все части современной ему физики усвоить и оформить до такой степени, что читателю кажется, будто они являются его оригинальными открытиями.

.

График левой части уравнения представляет собой котангенсоиду, являющуюся периодической функцией аргумента μ с периодом π, а график правой части – прямую с угловым коэффициентом 1/Bi. Абсциссы точек пересечения этих графиков дают корни характеристического уравнения.

линейностью дифференциального уравнения теплопроводности его общее решение является

суммой его частных решений:

.

Стоящая в показателе экспоненты величина – критерий Фурье, безразмерное время.
Неизвестные величины Cn определим из начального условия.
При Fo=0
.

и проинтегрируем по х в

пределах толщины пластины.
Меняя порядок интегрирования и суммирования (ввиду линейности этих операций) получим выражение:


,

поскольку и являются
ортогональными функциями, как это следует из характеристического уравнения. То есть их произведение обращается в нуль, кроме случая, когда m = n.

, получим:

.


Учтем также, что и sin2x = 2sinxcosx.

Тогда




.

,

и решение принимает окончательный вид:

,

где – безразмерная координата.

Таким образом, безразмерная избыточная температура

,

где Bi – параметр задачи, Fo и X – безразмерные независимые переменные.

при Bi  0.
При этом угловой коэффициент 1/Bi

прямой на рисунке графического решения характеристического уравнения (слайд 9)   и прямая совпадает с осью ординат.
n принимает следующий ряд значений: 0, , 2, 3… Все коэффициенты Сn, кроме первого, обращаются в нуль, а для первого получается неопределенность типа нуль, деленный на нуль, которую необходимо раскрыть.

Обозначим через  Сn .

Раскроем с помощью предельного перехода неопределенность для D1 при 1 = 0:

.

к следующему:

.

Определим конкретный вид связи между 1 и Bi. При 1  0 sin 11, tg 11, ctg 11/1. Следовательно, характеристическое уравнение принимает вид:

1/1 = 1/Bi  ,

а , так как 0  Х  1.

Окончательно получим:

 = exp(Bi  Fo) .

при граничных условиях I рода для неограниченной пластины.

Считаем, что на границах пластины происходит конвективная теплоотдача.
При конечных значениях величины полутолщины пластины  и коэффициента теплопроводности  случай Bi  означает  . Из-за интенсивной теплоотдачи разность температуры между средой и поверхностью объекта T0 – TW = q /   0 (так как плотность теплового потока q – величина постоянная).
Формулировка задачи:

;

начальное условие:  (x, 0) = Н ,
граничное условие:  (,t) = 0 ,
где  = TW – Т – текущая избыточная температура,
Н = TW – ТН – начальная избыточная температура.

при Bi 
принимает вид

ctgn = 0, то есть прямая на рисунке графического решения характеристического уравнения совпадает с осью абсцисс.
Корни характеристического уравнения составляют следующий ряд значений: , , …
При этом sinn = 1 при четных n, т.е. sin n = (1)n+1 , а cos n = 0.

при граничных условиях III рода, см.

слайд 13) принимает вид:

.

В данном случае относительная избыточная температура определяется как функция числа Фурье и безразмерной координаты  = f (Fo, X).
Число Био не является параметром задачи, так как лимитирующим звеном в процессе теплообмена является внутренний теплообмен.

тела изменяется от одного установившегося значения до другого, можно выделить

три характерных режима:
неупорядоченный, при котором начальное распределение температуры оказывает заметное влияние на развитие процесса;
регулярный, когда влияние начального распределения температуры исчезает;
стационарный, при котором температура во всех точках тела становится равной температуре окружающей среды.

§ 5. Регулярный тепловой режим

каждое следующее характеристическое число больше предыдущего, k > k+1, и

n стоит в квадрате в отрицательном показателе экспоненты.
Во-вторых, поскольку критерий Фурье тоже стоит в отрицательном показателе экспоненты, ряд сходится тем быстрее, чем больше времени прошло с начала процесса. Практически уже при Fo  0,3 сумма ряда равна его первому слагаемому:

,

где 1 = f (Bi), 0 ≤ 1 ≤ .

и прологарифмируем последнее выражение:

.

tР – время наступления регулярного режима.

– темп охлаждения (нагрева), постоянная скорость изменения ln, с–1.

Очевидно, что .

1 = .

Величина
называется темпом нагрева

(охлаждения) при граничных условиях I рода. Итак, в этом случае темп нагрева пропорционален коэффициенту температуропроводности:
m∞ = k  a ,
где – коэффициент формы для плоской пластины.

Таким образом, при граничных условиях I рода темп нагрева не зависит от критерия Био, поскольку нагрев (охлаждение) тела лимитируется только внутренним теплообменом.

различных материалов

и коэффициента теплоотдачи.
Для этого необходимо снять кривую изменения температуры в какой-либо точке тела и, представив ее в координатах ln–t, найти тангенс угла наклона прямолинейного отрезка зависимости к оси времени.
Теперь, зная форму и размер тела, можно найти .
Тогда коэффициент теплопроводности  = a    c .
Затем, уменьшив интенсивность внешнего теплопереноса, надо организовать теплообмен с граничными условиями III рода, и найти m, зависящий в данном случае от 1 и Bi.
Наконец, находят коэффициент теплоотдачи: .