Тема: Свойства функции. Обратная функция

если для любого значения x, взятого из области определения функции,

значение –x также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x).
Примеры четных функций:
y = x2; y = x2 + 5; y = -3x2 + 1; y = ½x½; y = 3.
(y = x2; y(1) = 12 = 1; y(-1) = (-1)2 = 1; y(1) = y(-1)).
 
Согласно определению, четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат.
График четной функции симметричен относительно оси ординат:

y

x

O

x0

- x0

любого значения x, взятого из области определения функции, значение –x

также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x).
Примеры нечетных функций:
y = x3; y = x3 + x.
(y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

f(-x0)

O

y = f(x)

только правую ветвь графика для положительных значений аргумента. Левая ветвь

достраивается симметрично относительно начала координат для нечетной функции и относительно оси ординат для четной функции.
Произведение двух четных или двух нечетных функций представляет собой четную функцию, а произведение четной и нечетной функций – нечетную функцию.
Конечно, большинство функций не являются ни четными, ни нечетными.
Пример:
y = x3 + x2
y(-1) = (-1)3 + (-1)2 = -1 + 1 = 0
y(1) = (1)3 + (1)2 = 1 + 1 = 2

такое число T¹0, что для любого значения x, взятого из

области определения, значения x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство
f(x) = f(x + T) = f(x – T):

y

1

2

4

3

-1

T

y = f(x)

бесконечное число периодов.В самом деле, числа вида nT при любом

целом n также являются периодом функции f(x), так как f(x + nT) = f(x + (n - 1)T + T) = f(x + (n – 1)T) = f(x + (n - 2)T + T) = f(x + (n - 2)T) = … = f(x).
Иногда периодом называют наименьшее их всех чисел T > 0, удовлетворяющее данному выше определению. Примеры периодических функций:
y = sin x; y = ctg x; y = sin3x.
Периодической является и всякая постоянная функция, причем ее периодом служит любое ненулевое число. Например: y = 2; y = 10.

котором значение функции равно нулю.
Для того, чтобы найти нули

функции, следует решить уравнение f(x) = 0. Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x), и обратно. Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс, либо касается ее, либо имеет общую точку с этой осью.

х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства.
Над

этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, если f(x) > 0, и ниже оси абсцисс, если f(x) < 0.

увеличивается, и монотонно убывающей, если с увеличением аргумента значение функции

уменьшается.

y = f(x)

(a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому

интервалу, из неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) > f(x1).

Функция y = f(x) называется монотонно убывающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) < f(x1). Интервал (a, b) предполагает взятым из области определения функции.