Теория вероятностей

Содержание

1. Теория вероятностей
2. Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая
3. СодержаниеПриближённые формулы теории вероятностейНаивероятнейшее число появлений события
4. Приближённые формулы теории вероятностейПри больших n
5. ПримерНайти вероятность того, что в серии из
6. Локальная теорема ЛапласаЕсли в серии независимых
7. Свойства функции f(x)Функция f(x) – чётная,
8. Формула Лапласа
9. ПримерНайти вероятность того, что в серии из
10. Формула ПуассонаЕсли событие А очень маловероятно, т.е.
11. Формула ПуассонаЧисло  называется параметром распределения Пуассона, а сама формула выражает «закон редких, но массовых явлений».
12. ПримерЗавод отправил на базу 5000 проверенных изделий
13. ПримерНайти вероятность выпадения от 47 до 57
14. Интегральная теорема Лапласа Вероятность того, что
15. Свойства функции Ф(x)Область определения (∞;+∞)Область значений (0,5;
16. ПримерНайти вероятность выпадения от 47 до 57
17. Наивероятнейшее число появлений событияПример. Вероятность изготовления на
18. Полученные в предыдущем примере результаты изобразим графически
19. Наивероятнейшее число появлений события© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
20. Наивероятнейшее число появлений событияДля нахождения значения mо
21. Наивероятнейшее число появлений событияПроведя необходимые сокращения, получим:
22. Наивероятнейшее число появлений событияРешая второе неравенство, получим: Объединяя полученные решения, придём к двойному неравенству:
23. Пример© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Пример. Вероятность
24. Оценка отклонения частоты события от вероятности этого
25. Оценка отклонения частоты события от вероятности этого
26. Решение© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»В соответствии с приближённой формулой Лапласа:=
27. Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события
28. Скачать презентанцию

Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .Тимошина И.Р. Электронный конспект

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литература
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей

и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2007.

Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман

Слайд 3Содержание
Приближённые формулы теории вероятностей
Наивероятнейшее число появлений события в серии независимых

испытаний
Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события

СодержаниеПриближённые формулы теории вероятностейНаивероятнейшее число появлений события в серии независимых испытанийОценка отклонения частоты события от вероятности этого

Слайд 4Приближённые формулы теории вероятностей
При больших n использование формулы Бернулли затруднительно.

В этих случаях используют либо формулу Лапласа (локальная теорема Лапласа),

либо формулу Пуассона, либо интегральную формулу Лапласа.

Приближённые формулы теории вероятностейПри больших n использование формулы Бернулли затруднительно. В этих случаях используют либо формулу

Слайд 5Пример
Найти вероятность того, что в серии из 243 испытаний событие

наступит 70 раз, если вероятность наступления этого события в одном

испытании p=0,25
Решение. По формуле Бернулли: Мы столкнулись с ситуацией, что несмотря на наличие точной вычислительной формулы, воспользоваться ею затруднительно!!!
Для решения задач, в которых количество испытаний велико, применяют приближённые формулы.

ПримерНайти вероятность того, что в серии из 243 испытаний событие наступит 70 раз, если вероятность наступления этого

Слайд 6Локальная теорема Лапласа
Если в серии независимых испытаний количество испытаний n

велико (npq>20), то можно пользоваться приближённой формулой:

Локальная теорема ЛапласаЕсли в серии независимых испытаний количество испытаний n велико (npq>20), то можно пользоваться приближённой

Слайд 7Свойства функции f(x)
Функция f(x) – чётная, т.е. f(-x)= f(x)

.
Значения функции f(x) табулированы в диапазоне [0, 5] (таблица)
Для |x|≥5 можно считать, что f(x)≈0
График функции f(x) имеет вид:

Слайд 8Формула Лапласа

Слайд 9Пример
Найти вероятность того, что в серии из 243 испытаний событие

наступит 70 раз, если вероятность наступления этого события в одном

испытании p=0,25
Решение. Применим для решения формулу Лапласа.

n=243 m=70 p=0,25 q=0,75

Таблица

Слайд 10Формула Пуассона
Если событие А очень маловероятно, т.е. величина p (или

q) очень маленькая, то может оказаться, что величина npq мала

даже при значительном количестве испытаний n (напомним, что формула Лапласа даёт хорошее приближение, если npq>20).
В этом случае применяют формулу Пуассона:

Формула ПуассонаЕсли событие А очень маловероятно, т.е. величина p (или q) очень маленькая, то может оказаться, что

Слайд 11Формула Пуассона
Число  называется параметром распределения Пуассона, а сама формула

выражает «закон редких, но массовых явлений».

Слайд 12Пример
Завод отправил на базу 5000 проверенных изделий без брака. Вероятность

того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность

того, что на базу прибудут три негодных изделия.

Решение. По условию n=5000; p=0,0002; q=0,9998 Значение npq = 5000∙0,0002∙0,9998≈1<20. Формула Лапласа имеет значительную погрешность!
Поэтому применим формулу Пуассона: λ=np=5000∙0,0002=1

ПримерЗавод отправил на базу 5000 проверенных изделий без брака. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно

Слайд 13Пример
Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100

бросках монеты.
Решение. Вероятность данного события можно вычислить по формулам Бернулли: P100(47≤

m ≤57)=P100(47)+P100(48)+…+P100(57)= =С10047p47q53+С10048p48q52+…+С10057p57q43 Несмотря на наличие точной вычислительной формулы, воспользоваться ею затруднительно!!!

ПримерНайти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100 бросках монеты.Решение. Вероятность данного события можно вычислить

Слайд 14Интегральная теорема Лапласа
Вероятность того, что в серии независимых испытаний

событие произойдёт не менее k1 раз и не более k2

раз, т.е. Pn (k1≤m≤k2) вычисляется по формуле:

Интегральная теорема Лапласа Вероятность того, что в серии независимых испытаний событие произойдёт не менее k1 раз

Слайд 15Свойства функции Ф(x)
Область определения (∞;+∞)
Область значений (0,5; 0,5)
Функция Ф(x) нечетная: Ф(-x)=-Ф(x).
Функция

Ф(x)  неубывающая функция
Функция Ф(x) табулирована в диапазоне [0; 5]

(таблица)
Для x>5 можно с высокой степенью точности считать, что Ф(x)=0,5

Свойства функции Ф(x)Область определения (∞;+∞)Область значений (0,5; 0,5)Функция Ф(x) нечетная: Ф(-x)=-Ф(x).Функция Ф(x)  неубывающая функцияФункция Ф(x) табулирована

Слайд 16Пример
Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100

бросках монеты.
Решение. Применим интегральную теорему Лапласа: n=100; k1=47; k2=57; p=0,5; q=0,5; Ответ.

Р100(47

ПримерНайти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100 бросках монеты.Решение. Применим интегральную теорему Лапласа: n=100;

Слайд 17Наивероятнейшее число появлений события
Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке бракованной

детали равна 0,2. Найти вероятности возможного числа появлений бракованных деталей

среди 5 отобранных.

Решение. 1. p=0,2; q=0,8 2.Искомые вероятности находим по формуле Бернулли:

Наивероятнейшее число появлений событияПример. Вероятность изготовления на автоматическом станке бракованной детали равна 0,2. Найти вероятности возможного

Слайд 18Полученные в предыдущем примере результаты изобразим графически точками с координатами

(m,P5(m))
Наивероятнейшее число появлений события
Рассматривая многоугольник распределения, мы видим, что

есть значение mо, обладающее наибольшей вероятностью. Число называют наивероятнейшим числом наступлений события

Полученные в предыдущем примере результаты изобразим графически точками с координатами (m,P5(m)) Наивероятнейшее число появлений событияРассматривая многоугольник распределения,

Наивероятнейшее число появлений события© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 20Наивероятнейшее число появлений события
Для нахождения значения mо в общем случае

запишем систему неравенств:

Решим первое неравенство, воспользовавшись формулой Бернулли :

Наивероятнейшее число появлений событияДля нахождения значения mо в общем случае запишем систему неравенств:Решим первое неравенство, воспользовавшись формулой

Слайд 21Наивероятнейшее число появлений события
Проведя необходимые сокращения, получим:

Слайд 22Наивероятнейшее число появлений события
Решая второе неравенство, получим:

Объединяя полученные решения,

придём к двойному неравенству:

бракованной детали равна 0,2. Найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей

из пяти отобранных.

Решение. Применим формулу: 5∙0,20,8≤mo≤5∙0,2+0,2 0,2 ≤ mo ≤ 1,2 Ответ. mo=1

Пример© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке бракованной детали равна 0,2. Найти

Слайд 24Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события
Пусть проводится серия

из независимых испытаний. Вероятность появления события А в каждом из

этих испытаний равна p.
Тогда частота (относительная частота) этого события равна m/ n.
Очевидно, что частота события является случайной величиной. Она может оказаться как больше вероятности события p, так и меньше этой вероятности.

Оценка отклонения частоты события от вероятности этого событияПусть проводится серия из независимых испытаний. Вероятность появления события А

Слайд 25Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события
Рассмотрим модуль разности

этих величин: Выберем некоторое число

ε>0.
Задача. Оценить вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по модулю не превосходит числа ε, т.е

Оценка отклонения частоты события от вероятности этого событияРассмотрим модуль разности этих величин:

Решение© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»В соответствии с приближённой формулой Лапласа:=

Слайд 27Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Теория вероятностей

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностейЛекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей

Слайд 3СодержаниеПриближённые формулы теории вероятностейНаивероятнейшее число появлений события в серии независимых

испытанийОценка отклонения частоты события от вероятности этого события

Слайд 4Приближённые формулы теории вероятностейПри больших n использование формулы Бернулли затруднительно.

В этих случаях используют либо формулу Лапласа (локальная теорема Лапласа),

Слайд 5ПримерНайти вероятность того, что в серии из 243 испытаний событие

наступит 70 раз, если вероятность наступления этого события в одном

Слайд 6Локальная теорема ЛапласаЕсли в серии независимых испытаний количество испытаний n

велико (npq>20), то можно пользоваться приближённой формулой:

Слайд 7Свойства функции f(x)Функция f(x) – чётная, т.е. f(-x)= f(x)

Слайд 8Формула Лапласа

Слайд 9ПримерНайти вероятность того, что в серии из 243 испытаний событие

наступит 70 раз, если вероятность наступления этого события в одном

Слайд 10Формула ПуассонаЕсли событие А очень маловероятно, т.е. величина p (или

q) очень маленькая, то может оказаться, что величина npq мала

Слайд 11Формула ПуассонаЧисло  называется параметром распределения Пуассона, а сама формула

выражает «закон редких, но массовых явлений».

Слайд 12ПримерЗавод отправил на базу 5000 проверенных изделий без брака. Вероятность

того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность

Слайд 13ПримерНайти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100

бросках монеты.Решение. Вероятность данного события можно вычислить по формулам Бернулли: P100(47≤

Слайд 14Интегральная теорема Лапласа Вероятность того, что в серии независимых испытаний

событие произойдёт не менее k1 раз и не более k2

Слайд 15Свойства функции Ф(x)Область определения (∞;+∞)Область значений (0,5; 0,5)Функция Ф(x) нечетная: Ф(-x)=-Ф(x).Функция

Ф(x)  неубывающая функцияФункция Ф(x) табулирована в диапазоне [0; 5]

Слайд 16ПримерНайти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100

бросках монеты.Решение. Применим интегральную теорему Лапласа: n=100; k1=47; k2=57; p=0,5; q=0,5; Ответ.

Слайд 17Наивероятнейшее число появлений событияПример. Вероятность изготовления на автоматическом станке бракованной

детали равна 0,2. Найти вероятности возможного числа появлений бракованных деталей

Слайд 18Полученные в предыдущем примере результаты изобразим графически точками с координатами

(m,P5(m)) Наивероятнейшее число появлений событияРассматривая многоугольник распределения, мы видим, что

Слайд 19Наивероятнейшее число появлений события© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 20Наивероятнейшее число появлений событияДля нахождения значения mо в общем случае

запишем систему неравенств:Решим первое неравенство, воспользовавшись формулой Бернулли :

Слайд 21Наивероятнейшее число появлений событияПроведя необходимые сокращения, получим:

Слайд 22Наивероятнейшее число появлений событияРешая второе неравенство, получим: Объединяя полученные решения,

придём к двойному неравенству:

Слайд 23Пример© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке

бракованной детали равна 0,2. Найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей

Слайд 24Оценка отклонения частоты события от вероятности этого событияПусть проводится серия

из независимых испытаний. Вероятность появления события А в каждом из

Слайд 25Оценка отклонения частоты события от вероятности этого событияРассмотрим модуль разности

этих величин: Выберем некоторое число

Слайд 26Решение© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»В соответствии с приближённой формулой Лапласа:=

Слайд 27Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?

Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литература
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей

Слайд 3Содержание
Приближённые формулы теории вероятностей
Наивероятнейшее число появлений события в серии независимых

испытаний
Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события

Слайд 4Приближённые формулы теории вероятностей
При больших n использование формулы Бернулли затруднительно.

Слайд 5Пример
Найти вероятность того, что в серии из 243 испытаний событие

Слайд 6Локальная теорема Лапласа
Если в серии независимых испытаний количество испытаний n

Слайд 7Свойства функции f(x)
Функция f(x) – чётная, т.е. f(-x)= f(x)

Слайд 9Пример
Найти вероятность того, что в серии из 243 испытаний событие

Слайд 10Формула Пуассона
Если событие А очень маловероятно, т.е. величина p (или

Слайд 11Формула Пуассона
Число  называется параметром распределения Пуассона, а сама формула

Слайд 12Пример
Завод отправил на базу 5000 проверенных изделий без брака. Вероятность

Слайд 13Пример
Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100

бросках монеты.
Решение. Вероятность данного события можно вычислить по формулам Бернулли: P100(47≤

Слайд 14Интегральная теорема Лапласа
Вероятность того, что в серии независимых испытаний

Слайд 15Свойства функции Ф(x)
Область определения (∞;+∞)
Область значений (0,5; 0,5)
Функция Ф(x) нечетная: Ф(-x)=-Ф(x).
Функция

Ф(x)  неубывающая функция
Функция Ф(x) табулирована в диапазоне [0; 5]

Слайд 16Пример
Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100

бросках монеты.
Решение. Применим интегральную теорему Лапласа: n=100; k1=47; k2=57; p=0,5; q=0,5; Ответ.

Слайд 17Наивероятнейшее число появлений события
Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке бракованной

(m,P5(m))
Наивероятнейшее число появлений события
Рассматривая многоугольник распределения, мы видим, что

Слайд 19Наивероятнейшее число появлений события
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 20Наивероятнейшее число появлений события
Для нахождения значения mо в общем случае

запишем систему неравенств:

Решим первое неравенство, воспользовавшись формулой Бернулли :

Слайд 21Наивероятнейшее число появлений события
Проведя необходимые сокращения, получим:

Слайд 22Наивероятнейшее число появлений события
Решая второе неравенство, получим:

Объединяя полученные решения,

Слайд 23Пример
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке

Слайд 24Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события
Пусть проводится серия

Слайд 25Оценка отклонения частоты события от вероятности этого события
Рассмотрим модуль разности

Слайд 26Решение
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
В соответствии с приближённой формулой Лапласа:
=