Тригонометрия

тангенса
Формулы для вычисления координат точки

через его углы
тригонометрия

двухмерным симплексом. « симплекс» по- латыни означает простейший. Необходимость вычисления

положения звёзд, для всевозможных долгосрочных прогнозов привела к необходимости научится обращаться с углами. Дитя астрологов –сферическая геометрия- привела к созданию тригонометрии- науки о измерении треугольника

угла прямоугольного треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе
Sin A =

BC:AB
Косинусом острого угла
прямоугольного треугольника
называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе
Cos A = AC :AB
Тангенсом острого угла
прямоугольного треугольника
называется отношение противолежащего
катета к прилежащему катету
Tg A = BC:AC

с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой

имеет вид X + Y=1. Подставив сюда выражения для x u y из формулы: sin = x, cos = y, получим равенство

основное тригонометрическое тождество

и построим окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

Назовём её единичной окружностью. Из точки О проведём луч h, пересекающий единичную окружность в точке М(х;у). Обозначим буквой α угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс.
Если угол α острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем sin α =MD/OM, cos α =OD/OM.
Но OM=1, MD=у, OD=х, поэтому sin α =у, cos α =х.
Таким образом, для любого угла из промежутка 0°≤ α ≤180° синусом угла α называется ордината у точки М, а косинусом угла α -абсцисса х точки М.

α=90° tg α не определён, поскольку cos90°=0 и в формуле

приведенной выше знаменатель обращается в нуль.

Знаки sin a.
Знаки cos a.
Знаки tg a и ctg a.

sin a зависит от знака y. В 1 и 2

четвертях y>0, а в 3 и 4 четвертях y<0. Значит: sin a>0, если а является углом 1 или 2 четверти, и sin a<0, если а является углом 3 или 4 четверти.

90

360

0

270

180

+

-

-

+

x, так как cos a=x/R. В 1 и 4 четвертях

x>0, а во 2 и 3 четвертях x<0. Поэтому: cos a>0, если а является углом 1 или 4 четверти, и cos a<0, если а является углом 2 или 3 четверти.

270

90

-

+

-

+

180

360

0

a=y/x, а ctg a=x/y, то знаки tg a и ctg

a зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg a>0 и ctg a>0, если а является углом 1 или 3 четверти; tg a<0 и ctg a<0, если а является углом 2 или 4 четверти.

270

360

0

90

180

-

+

+

-

дана точка А(x;y).
Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА

и угол a: М- точка пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. По формуле x=cosa, y=sina, координаты М(cosa;sina)
ОМ{cosa;sina}, ОА{x;y}
По лемме о коллинеарных векторах: ОА=ОА ∙ ОМ,
X=OA ∙ cosa, Y=Oa ∙ sina

M(cosa;sin a)

А(x;y)

a

y

x

O